【题目]-|||-lim _(xarrow infty )x sin [ 1+dfrac {3)(x))] -sin [ ln (1+dfrac (1)(x))] } = __

步骤 1：利用泰勒展开式
首先，我们利用泰勒展开式来近似 $\sin(1+\frac{3}{x})$ 和 $\sin(\ln(1+\frac{1}{x}))$。当 $x$ 趋于无穷大时，$\frac{3}{x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 都趋于0，因此我们可以使用 $\sin(x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式：
$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$
步骤 2：近似 $\sin(1+\frac{3}{x})$
将 $1+\frac{3}{x}$ 代入泰勒展开式，得到：
$$\sin(1+\frac{3}{x}) = \sin(1) + \cos(1)\frac{3}{x} - \frac{1}{2}\sin(1)\left(\frac{3}{x}\right)^2 + \cdots$$
步骤 3：近似 $\sin(\ln(1+\frac{1}{x}))$
将 $\ln(1+\frac{1}{x})$ 代入泰勒展开式，得到：
$$\sin(\ln(1+\frac{1}{x})) = \ln(1+\frac{1}{x}) - \frac{1}{6}\ln^3(1+\frac{1}{x}) + \cdots$$
步骤 4：计算 $\ln(1+\frac{1}{x})$
利用 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式：
$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$
将 $\frac{1}{x}$ 代入，得到：
$$\ln(1+\frac{1}{x}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots$$
步骤 5：计算原极限
将步骤 2 和步骤 4 的结果代入原极限，得到：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }x\{ \sin [ 1+\dfrac {3}{x})] -\sin [ \ln (1+\dfrac {1}{x})] \} = \lim _{x\rightarrow \infty }x\{ \cos(1)\frac{3}{x} - \frac{1}{x} + \cdots \}$$
$$= \lim _{x\rightarrow \infty }x\{ \cos(1)\frac{3}{x} - \frac{1}{x} \} = 3\cos(1) - 1$$
步骤 6：计算 $\cos(1)$
$\cos(1)$ 是一个常数，其值约为0.5403，因此：
$$3\cos(1) - 1 = 3 \times 0.5403 - 1 = 1.6209 - 1 = 0.6209$$