题目
11. (4.0分) 设u=xy^2z，则在点(1,1,1)处的方向导数的最大值为( )A. sqrt(3)B. 4C. 1D. sqrt(6)
11. (4.0分) 设$u=xy^{2}z$，则在点(1,1,1)处的方向导数的最大值为( )
A. $\sqrt{3}$
B. 4
C. 1
D. $\sqrt{6}$
题目解答
答案
D. $\sqrt{6}$
解析
步骤 1：计算函数 $ u = xy^2z $ 的梯度
函数 $ u = xy^2z $ 的梯度为 \[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \left( y^2z, 2xyz, xy^2 \right) \]
步骤 2：在点 $ (1,1,1) $ 处评估梯度
将点 $ (1,1,1) $ 代入梯度表达式中，得到 \[ \nabla u \bigg|_{(1,1,1)} = (1^2 \cdot 1, 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1, 1 \cdot 1^2) = (1, 2, 1) \]
步骤 3：计算梯度的模
梯度的模为 \[ \left| \nabla u \bigg|_{(1,1,1)} \right| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6} \]
方向导数的最大值即为梯度的模，故答案为 $\sqrt{6}$。
函数 $ u = xy^2z $ 的梯度为 \[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \left( y^2z, 2xyz, xy^2 \right) \]
步骤 2：在点 $ (1,1,1) $ 处评估梯度
将点 $ (1,1,1) $ 代入梯度表达式中，得到 \[ \nabla u \bigg|_{(1,1,1)} = (1^2 \cdot 1, 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1, 1 \cdot 1^2) = (1, 2, 1) \]
步骤 3：计算梯度的模
梯度的模为 \[ \left| \nabla u \bigg|_{(1,1,1)} \right| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6} \]
方向导数的最大值即为梯度的模，故答案为 $\sqrt{6}$。