题目

证明：方程 x = a sin x + b (a > 0, b > 0 且为常数) 至少有一个正根，并且它不超过 a + b。

证明：方程 $x = a \sin x + b$ ($a > 0$, $b > 0$ 且为常数) 至少有一个正根，并且它不超过 $a + b$。

题目解答

答案

定义函数 $f(x) = x - a \sin x - b$，其中 $a > 0$，$b > 0$。

  1. 在 $x = 0$ 处的值：
    $f(0) = -b < 0$（因 $b > 0$）。

  2. 在 $x = a + b$ 处的值：
    $f(a + b) = a(1 - \sin(a + b)) \geq 0$（因 $\sin(a + b) \leq 1$）。

  3. 零点存在性：

    • 情况1：若 $f(a + b) = 0$，则 $a + b$ 是方程的根，满足条件。
    • 情况2：若 $f(a + b) > 0$，由零点存在性定理，区间 $(0, a + b)$ 内至少有一根。

结论：方程 $x = a \sin x + b$ 至少有一个正根，且该根不超过 $a + b$。

$\boxed{\text{证毕}}$

解析

本题考查零点存在性定理的应用，解题思路是通过构造函数，分析函数在特定区间端点处的函数值，再利用零点存在性定理来证明方程根的存在性和范围。

  1. 构造函数：
    为了利用函数的性质来研究方程 $x = a\sin x + b$ 的根，我们构造函数 $f(x)=x - a\sin x - b$，其中 $a\gt0$，$b\gt0$ 且为常数。因为方程 $x = a\sin x + b$ 的根就是函数 $f(x)$ 的零点。
  2. 计算 $f(0)$ 的值：
    将 $x = 0$ 代入函数 $f(x)$ 中，根据三角函数特殊值 $\sin0 = 0$，可得 $f(0)=0 - a\sin0 - b$。
    因为 $\sin0 = 0$，所以 $f(0)=0 - a\times0 - b=-b$。
    又因为已知 $b\gt0$，所以 $f(0)=-b\lt0$。
  3. 计算 $f(a + b)$ 的值：
    将 $x = a + b$ 代入函数 $f(x)$ 中，可得 $f(a + b)=(a + b)-a\sin(a + b)-b$。
    对上式进行化简：$f(a + b)=a + b - a\sin(a + b)-b=a(1 - \sin(a + b))$。
    根据正弦函数的值域，对于任意实数 $x$，都有 $-1\leqslant\sin x\leqslant1$，所以 $\sin(a + b)\leqslant1$，那么 $1-\sin(a + b)\geqslant0$。
    又因为 $a\gt0$，所以 $f(a + b)=a(1 - \sin(a + b))\geqslant0$。
  4. 分情况讨论零点存在性：
    • 情况 1：若 $f(a + b)=0$，这意味着当 $x = a + b$ 时，函数 $f(x)$ 的值为 $0$，根据函数零点的定义，$x = a + b$ 就是函数 $f(x)$ 的零点，也就是方程 $x = a\sin x + b$ 的根。因为 $a\gt0$，$b\gt0$，所以 $a + b\gt0$，满足至少有一个正根且不超过 $a + b$ 的条件。
    • 情况 2：若 $f(a + b)\gt0$，此时我们有 $f(0)\lt0$ 且 $f(a + b)\gt0$。
      函数 $f(x)=x - a\sin x - b$ 的导数为 $f^\prime(x)=1 - a\cos x$。因为 $-1\leqslant\cos x\leqslant1$，$a\gt0$，所以 $f^\prime(x)=1 - a\cos x\geqslant1 - a$。当 $0\lt a\leqslant1$ 时，$f^\prime(x)\geqslant0$，函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增；当 $a\gt1$ 时，$f^\prime(x)$ 也有正有负，但函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是连续的（因为 $y = x$，$y=\sin x$ 都是连续函数，它们的线性组合也是连续函数）。
      根据零点存在性定理：如果函数 $y = f(x)$ 在区间 $[m,n]$ 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 $f(m)\cdot f(n)\lt0$，那么函数 $y = f(x)$ 在区间 $(m,n)$ 内有零点。
      在这里 $m = 0$，$n = a + b$，$f(0)\lt0$，$f(a + b)\gt0$，所以在区间 $(0,a + b)$ 内至少存在一个 $x_0$，使得 $f(x_0)=0$，即方程 $x = a\sin x + b$ 在区间 $(0,a + b)$ 内至少有一个根，这个根是正根且不超过 $a + b$。