题目
5.填空题(1)/(x)dx=d( )
5.填空题
$\frac{1}{x}dx=d( )$
题目解答
答案
根据微分定义，若 $d(f(x)) = f'(x)dx$，则需满足 $f'(x) = \frac{1}{x}$。
对 $\frac{1}{x}$ 积分得：
\[
f(x) = \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C
\]
其中，$C$ 为常数。
因此，
\[
\frac{1}{x}dx = d(\ln |x| + C)
\]
答案：$\boxed{\ln |x| + C}$
解析
本题考查不定积分与微分的关系。解题的关键在于理解微分的定义，即若$d(f(x)) = f'(x)dx$，那么对于给定的$\frac{1}{x}dx$，我们需要找到一个函数$f(x)$，使得它的导数$f'(x)=\frac{1}{x}$，而求这个函数$f(x)$的过程就是对$\frac{1}{x}$进行不定积分。
- 首先明确微分与积分的关系：
- 根据微分的定义，若$y = f(x)$，则$dy=f'(x)dx$。现在已知$dy=\frac{1}{x}dx$，所以我们要找的函数$f(x)$满足$f'(x)=\frac{1}{x}$。
- 然后对$\frac{1}{x}$进行不定积分：
- 根据不定积分的基本公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + C$（$C$为任意常数），这里$C$是积分常数，因为求导时常数的导数为$0$，所以在积分时会出现常数项。
- 所以$f(x)=\ln|x| + C$，那么$\frac{1}{x}dx=d(\ln|x| + C)$。