已知矩阵-|||-A= (} 2& -1& -1& 1& 2 1& 1& 2& 1& 4 4& -6& 2& -2& 4 3& 6& 9& 7& 9 ) . ,-|||-求矩阵A的列向量组的秩r和它的一个最大无关-|||-组;并将列向量组中其他的向量用该最大无关组-|||-线性表示.其结果可以为_ __

本题主要考察矩阵列向量组的秩、最大无关组以及向量线性表示的求解，核心思路是通过对矩阵$A$进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，再根据行阶梯形矩阵的非零行个数确定秩，通过列向量的线性关系确定最大无关组及其他向量的线性表示。

步骤1：对矩阵$A$作初等行变换

矩阵$A$的列向量组的秩等价于矩阵$A$的秩，通过初等行变换可简化矩阵：
$A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{array}\right)$
行变换过程：

• 交换$R_1$和$R_2$（首非零元归一化）：
  $\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{array}\right)$
• $R_2-2R_1,R_3-4R_1,R_4-3R_1$消去第一列下方元素：
  $\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\0 & -10 & 10 & -6 & -12 \\0 & 3 & -3 & 4 & -3\end{array}\right)$
• $R_2\div(-3),R_3\div(-2),R_4\div3$归一化：
  $\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\0 & 1 & -1 & 1/3 & 2 \\0 & 5 & -5 & 3 & 6 \\0 & 1 & -1 & 4/3 & -1\end{array}\right)$
• $R_1-R_2,R_3-5R_2,R_4-R_2$消去第二列下方元素：
  $\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & -1 & 2/3 & 2 \\0 & 1 & -1 & 1/3 & 2 \\0 & 0 & 0 & 4/3 & -4 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)$
• $R_3\div(4/3),R_4$归一化：
  $\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & -1 & 2/3 & 2 \\0 & 1 & -1 & 1/3 & 2 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)$
• $R_4-R_3$得行最简形：
  $\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$

步骤2：确定秩和最大无关组

行最简形矩阵的非零行有3行，故$r(A)=3$，排除选项A（$r=2$）、C（$r=4$）、D（$r=4$）。

最大无关组：行最简形中主元列对应原矩阵的$a_1,a_2,a_4$，故$a_1,a_2,a_4$是最大无关组。

步骤3：线性表示其他向量

根据行最简形，列向量关系为：

• $a_3=-a_1 -a_2 +0a_4$（第三列：$[-1,-1,0,0]^T$）
• $a_5=4a_1 +3a_2 -3a_4$（第五列：$[4,3,-3,0]^T$）

与选项B完全一致。