题目

设 A 是各行元素之和均为 0 的三阶矩阵, alpha=(0,-1,1)^mathrm(T), beta=(1,0,-1)^mathrm(T). 如果它们满足: Aalpha=3beta, Abeta=3alpha, 则矩阵 A= ( ).A. } 1 & -2 & 1 -2 & 1 & -1 1 & -1 & -2

设 $A$ 是各行元素之和均为 0 的三阶矩阵, $\alpha=(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$, $\beta=(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$. 如果它们满足: $A\alpha=3\beta$, $A\beta=3\alpha$, 则矩阵 $A=$ ( ).

A. $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

B. $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

C. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

D. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

题目解答

答案

B. $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

解析

本题考查矩阵的运算以及矩阵元素的求解。解题思路是先根据矩阵\\(A\)各行元素之和均为$0$得到一个关于矩阵$A$元素的方程，再结合已知条件$A\alpha = 3\beta$，$A\beta = 3\alpha$列出关于矩阵$A$元素的其他方程，最后联立方程求解矩阵$A$的元素。

设$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{121}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}$。

  1. 根据矩阵$A$各行元素之和均为$0$列出方程：
    因为矩阵$A$各行元素之和均为$0$，所以可得：
    $\begin{cases}a_{11}+a_{12}+a_{13}=0&(1)\\a_{21}+a_{22}+a_{23}=0&(2)\\a_{31}+a_{32}+a_{33}=0&(3)\end{cases}$
  2. 根据$A\alpha = 3\beta$列出方程：
    已知$\alpha=(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$，$\beta=(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$，则$A\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$，即$\begin{pmatrix}-a_{12}+a_{13}\\-a_{22}+a_{23}\\-a_{32}+a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$，由此可得：
    $\begin{cases}-a_{12}+a_{13}=3&(4)\\-a_{22}+a_{23}=0&(5)\\-a_{3}+a_{33}}=-3&(6)\end{cases}$
  3. 根据$A\beta = 3\alpha$列出方程：
    $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$，即$\begin{pmatrix}a_{11}-a_{13}\\a_{21}-a_{23}\\a_{31}-a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\3\end{pmatrix}$，由此可得：
    $\begin{cases}a_{11}-a_{13}=0&(7)\\a_{21}-a_{23}=-3&(8)\\a_{31}-a_{33}=3&(9)\end{cases}$
  4. 联立方程求解矩阵$A$的元素：
    • 由$(4)$式$-a_{12}+a_{13}=3$和$(7)$式$a_{11}-a_{13}=0$，可得$a_{11}=a_{13$，$a_{12}=a_{13}-3$，代入$(1)$式$a_{11+a_{12}+a_{13}=0$，得到$a_{13}+a_{13}-3+a_{13=0$，即$3a_{13}=3$，解得$a_{13}=1$，那么$a_{11}=1$，$a_{12}=-2$。
    • 由$(5)$式$-a_{22}+a_{23}=0$可得$a_{22}=a_{23}$，代入$(2)$式$a_{21}+a_{22}+a_{23}=0$，得到$a_{21}+2a_{23}=0$，再结合$(8)$式$a_{21}-a_{23=-3$，联立$\begin{cases}a_{21}+2a_{23}=0\\a_{21}-a_{23}=-3\end{cases}$，两式相减消去$a_{21}$可得$3a_{23}=3$，解得$a_{23}=1$，则$a_{22}=1$，$a_{21}=-2$。
    • 由$(6)$式$-a_{32}+a_{33}=-3$可得$a_{32}=a_{33}+3$，代入$(3)$式$31)+a_{32}+a_{33}=0$，得到$a_{31}+a_{33}+3+a_{33}=0$，即$a_{31}+2a_{33}=-3$，再结合$(9)$式$a_{31}-a_{33}=3$，联立$\begin{cases}a_{31}+2a_{33}=-3\\a_{31}-a_{33}=3\end{cases}$，两式相减消去$a_{31}$可得$3a_{33}=-6$，解得$a_{33}=-2$，则$a_{32}=1$，$a_{31}=1$。

所以矩阵$A=\begin{pmatrix}1&-2&1\\-2&1&1\\1&1&-2\end{pmatrix}$。