题目
在长度为20分钟的时间段内，有两个长短不等的信号随机地进入接收机，长信号持续时间为4分钟，短信号持续时间为2分钟．那么这两个信号互不干扰的概率为 ____ （结果请用小数表示）．
在长度为20分钟的时间段内，有两个长短不等的信号随机地进入接收机，长信号持续时间为4分钟，短信号持续时间为2分钟．那么这两个信号互不干扰的概率为 ____ （结果请用小数表示）．
题目解答
答案
解：设长短不等的信号分别为甲、乙，它们随机地进入接收机的时间为第x，y分钟，
两个长短不等的信号随机地进入接收机的基本事件（x，y）可用如图所示的正方形OABC区域表示，
这两个信号互不干扰的，则|x-y|＞6，其基本事件（x，y）可用如图所示的阴影部分表示，
则这两个信号互不干扰的概率为$\frac{{S}_{阴}}{{S}_{正}}$=$\frac{14×14}{20×20}=\frac{49}{100}$，
故答案为：0.49．
解析
步骤 1：定义变量
设长信号进入接收机的时间为第x分钟，短信号进入接收机的时间为第y分钟。则x和y的取值范围为0到20分钟。
步骤 2：确定互不干扰的条件
两个信号互不干扰的条件是长信号和短信号的时间段不重叠。即长信号的开始时间x加上其持续时间4分钟，应小于短信号的开始时间y，或者短信号的开始时间y加上其持续时间2分钟，应小于长信号的开始时间x。用数学表达式表示为：x+4
步骤 3：计算概率
将上述条件转化为不等式|x-y|>6。在20分钟的时间段内，x和y的取值范围为0到20分钟，因此，所有可能的(x,y)组合可以用一个20×20的正方形区域表示。互不干扰的(x,y)组合可以用正方形区域中|x-y|>6的区域表示。计算该区域的面积与整个正方形区域的面积之比，即为所求概率。
步骤 4：计算面积比
整个正方形区域的面积为20×20=400。互不干扰的区域为两个三角形，每个三角形的底和高均为14，因此每个三角形的面积为14×14/2=98。两个三角形的总面积为196。因此，互不干扰的概率为196/400=49/100=0.49。
设长信号进入接收机的时间为第x分钟，短信号进入接收机的时间为第y分钟。则x和y的取值范围为0到20分钟。
步骤 2：确定互不干扰的条件
两个信号互不干扰的条件是长信号和短信号的时间段不重叠。即长信号的开始时间x加上其持续时间4分钟，应小于短信号的开始时间y，或者短信号的开始时间y加上其持续时间2分钟，应小于长信号的开始时间x。用数学表达式表示为：x+4
步骤 3：计算概率
将上述条件转化为不等式|x-y|>6。在20分钟的时间段内，x和y的取值范围为0到20分钟，因此，所有可能的(x,y)组合可以用一个20×20的正方形区域表示。互不干扰的(x,y)组合可以用正方形区域中|x-y|>6的区域表示。计算该区域的面积与整个正方形区域的面积之比，即为所求概率。
步骤 4：计算面积比
整个正方形区域的面积为20×20=400。互不干扰的区域为两个三角形，每个三角形的底和高均为14，因此每个三角形的面积为14×14/2=98。两个三角形的总面积为196。因此，互不干扰的概率为196/400=49/100=0.49。