题目
设矩阵矩阵经过初等行变换变成则下面说法不正确的是( )A. 的列向量组与的列向量组等价 B. 的行向量组与的行向量组等价 C. 矩阵的秩等于矩阵的秩D. 的行向量组能由的行向量组线性表示
设矩阵矩阵
经过初等行变换变成
则下面说法不正确的是( )
A.
的列向量组与
的列向量组等价
B.
的行向量组与
的行向量组等价
C. 矩阵
的秩等于矩阵
的秩
D.
的行向量组能由
的行向量组线性表示
题目解答
答案
选项A,矩阵的初等行变换不会改变矩阵列空间的维数和基,因此
的列向量组与
的列向量组等价,A正确。
选项B,矩阵的初等行变换不会改变矩阵行空间的维数和基,因此矩阵
和
的行向量组是等价的,B正确。
选项C,矩阵的初等行变换不会改变矩阵的秩,因此矩阵
和
的秩是相等的,C正确。
选项D,虽然初等行变换不改变矩阵的秩,但它可能会改变矩阵的零空间,进而影响到矩阵的线性表示能力,因此
的行向量组不能由
的行向量组线性表示,D不正确。
综上所述,选项D不正确,本题答案选D。
解析
步骤 1:理解初等行变换对矩阵的影响
初等行变换包括三种操作:交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数。这些操作不会改变矩阵的秩,也不会改变矩阵的列空间的维数和基,但可能改变矩阵的零空间和行空间的基。
步骤 2:分析选项A
矩阵的初等行变换不会改变矩阵列空间的维数和基,因此 的列向量组与的列向量组等价,A正确。
步骤 3:分析选项B
矩阵的初等行变换不会改变矩阵行空间的维数和基,因此矩阵和的行向量组是等价的,B正确。
步骤 4:分析选项C
矩阵的初等行变换不会改变矩阵的秩,因此矩阵和的秩是相等的,C正确。
步骤 5:分析选项D
虽然初等行变换不改变矩阵的秩,但它可能会改变矩阵的零空间,进而影响到矩阵的线性表示能力,因此的行向量组不能由的行向量组线性表示,D不正确。
初等行变换包括三种操作:交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数。这些操作不会改变矩阵的秩,也不会改变矩阵的列空间的维数和基,但可能改变矩阵的零空间和行空间的基。
步骤 2:分析选项A
矩阵的初等行变换不会改变矩阵列空间的维数和基,因此 的列向量组与的列向量组等价,A正确。
步骤 3:分析选项B
矩阵的初等行变换不会改变矩阵行空间的维数和基,因此矩阵和的行向量组是等价的,B正确。
步骤 4:分析选项C
矩阵的初等行变换不会改变矩阵的秩,因此矩阵和的秩是相等的,C正确。
步骤 5:分析选项D
虽然初等行变换不改变矩阵的秩,但它可能会改变矩阵的零空间,进而影响到矩阵的线性表示能力,因此的行向量组不能由的行向量组线性表示,D不正确。