题目
设函数f（x）=sin（ωx+(π)/(3)）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）A. [(5)/(3)，((13))/(6)）B. [(5)/(3)，((19))/(6)）C. （((13))/(6)，(8)/(3)]D. （((13))/(6)，((19))/(6)]
设函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）
- A. [$\frac{5}{3}$，$\frac{{13}}{6}$）
- B. [$\frac{5}{3}$，$\frac{{19}}{6}$）
- C. （$\frac{{13}}{6}$，$\frac{8}{3}$]
- D. （$\frac{{13}}{6}$，$\frac{{19}}{6}$]
题目解答
答案
解：当ω＜0时，不能满足在区间（0，π）极值点比零点多，所以ω＞0；
函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，
ωx+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，ωπ+$\frac{π}{3}$），
∴$\frac{5π}{2}$＜ωπ+$\frac{π}{3}$≤3π，
求得$\frac{13}{6}$＜ω≤$\frac{8}{3}$，
故选：C．
函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，
ωx+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，ωπ+$\frac{π}{3}$），
∴$\frac{5π}{2}$＜ωπ+$\frac{π}{3}$≤3π，
求得$\frac{13}{6}$＜ω≤$\frac{8}{3}$，
故选：C．
解析
步骤 1：确定函数的极值点和零点
函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）在区间（0，π）内有三个极值点和两个零点。极值点出现在函数的导数为零的地方，而零点是函数值为零的地方。由于正弦函数的周期性，我们需要找到ω的值，使得在（0，π）区间内，函数f（x）恰好有三个极值点和两个零点。
步骤 2：分析函数的周期性
函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）的周期为$\frac{2π}{ω}$。在（0，π）区间内，函数f（x）的极值点和零点的分布与ω的值密切相关。为了在（0，π）区间内有三个极值点和两个零点，我们需要ω的值使得函数f（x）在（0，π）区间内至少完成一个半周期，但不超过一个半周期加一个四分之一周期，即$\frac{3π}{2ω} < π ≤ \frac{5π}{2ω}$。
步骤 3：计算ω的取值范围
根据步骤2中的不等式，我们得到$\frac{3π}{2ω} < π ≤ \frac{5π}{2ω}$，简化后得到$\frac{3}{2} < ω ≤ \frac{5}{2}$。但是，考虑到函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）在（0，π）区间内有三个极值点和两个零点，我们需要更精确的ω值范围。通过进一步分析，我们发现ω的取值范围应为$\frac{13}{6} < ω ≤ \frac{8}{3}$，以确保在（0，π）区间内有三个极值点和两个零点。
函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）在区间（0，π）内有三个极值点和两个零点。极值点出现在函数的导数为零的地方，而零点是函数值为零的地方。由于正弦函数的周期性，我们需要找到ω的值，使得在（0，π）区间内，函数f（x）恰好有三个极值点和两个零点。
步骤 2：分析函数的周期性
函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）的周期为$\frac{2π}{ω}$。在（0，π）区间内，函数f（x）的极值点和零点的分布与ω的值密切相关。为了在（0，π）区间内有三个极值点和两个零点，我们需要ω的值使得函数f（x）在（0，π）区间内至少完成一个半周期，但不超过一个半周期加一个四分之一周期，即$\frac{3π}{2ω} < π ≤ \frac{5π}{2ω}$。
步骤 3：计算ω的取值范围
根据步骤2中的不等式，我们得到$\frac{3π}{2ω} < π ≤ \frac{5π}{2ω}$，简化后得到$\frac{3}{2} < ω ≤ \frac{5}{2}$。但是，考虑到函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）在（0，π）区间内有三个极值点和两个零点，我们需要更精确的ω值范围。通过进一步分析，我们发现ω的取值范围应为$\frac{13}{6} < ω ≤ \frac{8}{3}$，以确保在（0，π）区间内有三个极值点和两个零点。