1.设A和B为n阶方阵，下列说法正确的是（）.A. |A^*|=|A|^nB. (AB)^k=A^kB^kC. A^2-B^2=(A+B)(A-B)D. 若A可逆，则A*也可逆

本题主要考查方阵的行列式、矩阵的幂运算、矩阵乘法以及伴随矩阵的相关知识。解题思路是根据这些知识点的性质和运算法则，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

根据伴随矩阵的性质，对于$n$阶方阵$A$，有$A{A}^{*}=\vert A\vert E$。
两边取行列式可得$\vert A{A}^{*}\vert=\vert\vert A\vert E\vert$。
根据行列式的性质$\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert$，则$\vert A{A}^{*}\vert=\vert A\vert\vert {A}^{*}\vert$。
又因为$\vert\vert A\vert E\vert=\vert A\vert^{n}\vert E\vert=\vert A\vert^{n}$（$\vert E\vert = 1$），所以$\vert A\vert\vert {A}^{*}\vert=\vert A\vert^{n}$。
当$\vert A\vert\neq 0$时，$\vert {A}^{*}\vert=\vert A\vert^{n - 1}$；当$\vert A\vert = 0$时，$A^{*}$的秩小于$n$，则$\vert {A}^{*}\vert = 0$，也满足$\vert {A}^{*}\vert=\vert A\vert^{n - 1}$。
所以$\vert {A}^{*}\vert=\vert A\vert^{n - 1}\neq\vert A\vert^{n}$，选项A错误。

选项B

根据矩阵乘法的结合律$(AB)^{k}=\underbrace{(AB)(AB)\cdots(AB)}_{k个}$。
只有当$AB = BA$时，$(AB)^{k}=\underbrace{(AB)(AB)\cdots(AB)}_{k个}=\underbrace{A(BA)(BA)\cdots(BA)B}_{k - 1个}=A^{k}B^{k}$。
一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即$AB\neq BA$，所以$(AB)^{k}\neq A^{k}B^{k}$，选项B错误。

选项C

将$(A + B)(A - B)$展开，根据矩阵乘法的分配律可得：
$(A + B)(A - B)=A(A - B)+B(A - B)=A^{2}-AB + BA - B^{2}$。
只有当$AB = BA$时，$A^{2}-AB + BA - B^{2}=A^{2}-B^{2}$。
一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即$AB\neq BA$，所以$A^{2}-B^{2}\neq(A + B)(A - B)$，选项C错误。

选项D

已知$A$可逆，则$\vert A\vert\neq 0$。
由$A{A}^{*}=\vert A\vert E$，两边取行列式可得$\vert A\vert\vert {A}^{*}\vert=\vert\vert A\vert E\vert=\vert A\vert^{n}$。
因为$\vert A\vert\neq 0$，所以$\vert {A}^{*}\vert=\vert A\vert^{n - 1}\neq 0$。
根据可逆矩阵的判定定理，若一个方阵的行列式不为$0$，则该方阵可逆，所以$A^{*}$可逆，选项D正确。