题目
143 函数 (x,y,z)=(x)^2(y)^3+3(y)^2(z)^3 在点(0,1,1)处方向导数的最大值为-|||-(A) sqrt (107). (B) sqrt (117). (C)117. (D)107.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算梯度向量
首先，我们需要计算函数 $f(x,y,z)={x}^{2}{y}^{3}+3{y}^{2}{z}^{3}$ 在点(0,1,1)处的梯度向量。梯度向量是函数在该点处的偏导数构成的向量，即 $\nabla f(x,y,z) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$。
步骤 2：计算偏导数
计算偏导数：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^3$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2y^2 + 6yz^3$
$\frac{\partial f}{\partial z} = 9y^2z^2$
步骤 3：代入点(0,1,1)
将点(0,1,1)代入偏导数中，得到梯度向量：
$\nabla f(0,1,1) = (0, 6, 9)$
步骤 4：计算梯度向量的模
梯度向量的模是方向导数的最大值，即：
$||\nabla f(0,1,1)|| = \sqrt{0^2 + 6^2 + 9^2} = \sqrt{117}$
首先，我们需要计算函数 $f(x,y,z)={x}^{2}{y}^{3}+3{y}^{2}{z}^{3}$ 在点(0,1,1)处的梯度向量。梯度向量是函数在该点处的偏导数构成的向量，即 $\nabla f(x,y,z) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$。
步骤 2：计算偏导数
计算偏导数：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^3$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2y^2 + 6yz^3$
$\frac{\partial f}{\partial z} = 9y^2z^2$
步骤 3：代入点(0,1,1)
将点(0,1,1)代入偏导数中，得到梯度向量：
$\nabla f(0,1,1) = (0, 6, 9)$
步骤 4：计算梯度向量的模
梯度向量的模是方向导数的最大值，即：
$||\nabla f(0,1,1)|| = \sqrt{0^2 + 6^2 + 9^2} = \sqrt{117}$