[例20] 求下列极限:-|||-(4) lim _(xarrow 0)dfrac (1)({x)^3}[ ((dfrac {2+cos x)(3))}^x-1] -

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及指数函数的泰勒展开、等价无穷小替换以及极限运算中的化简技巧。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，$\cos x$可用泰勒展开近似，从而将复杂的指数表达式转化为多项式形式。通过等价无穷小替换和泰勒展开，将原式中的指数部分展开到足够阶数，最终消去高阶无穷小，得到极限值。

破题关键点：

1. 展开$\cos x$：利用$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，简化$\frac{2+\cos x}{3}$的表达式。
2. 处理指数函数：将$(1 - \frac{x^2}{6})^x$转化为指数形式$e^{x \ln(1 - \frac{x^2}{6})}$，并展开$\ln(1 - \frac{x^2}{6})$。
3. 化简分子：利用泰勒展开将$e^{-\frac{x^3}{6}} - 1$展开，保留到$x^3$项，消去分母$x^3$后求极限。

步骤1：展开$\cos x$
当$x \rightarrow 0$时，$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，代入原式得：
$\frac{2+\cos x}{3} = \frac{3 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)}{3} = 1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2).$

步骤2：处理指数部分
将$(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2))^x$写成指数形式：
$\left(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)\right)^x = e^{x \ln\left(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)\right)}.$

步骤3：展开自然对数
利用$\ln(1 + t) \approx t - \frac{t^2}{2} + \cdots$（其中$t = -\frac{x^2}{6} + o(x^2)$），得：
$\ln\left(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)\right) \approx -\frac{x^2}{6} - \frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{6}\right)^2 + o(x^2).$

步骤4：化简指数部分
代入指数函数并展开：
$e^{x \left(-\frac{x^2}{6} + o(x^2)\right)} = e^{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)} \approx 1 - \frac{x^3}{6} + o(x^3).$

步骤5：计算分子并求极限
原式分子为$e^{-\frac{x^3}{6}} - 1 \approx -\frac{x^3}{6}$，因此：
$\frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -\frac{1}{6} + o(1) \rightarrow -\frac{1}{6}.$