题目
29.判断题(5分)设(X,Y)具有联合概率密度函数f(x,y)=}e^-y;x>0,y>x0;其他，则此二维随机变量相互独立.A 错B 对A. 错B. 对
29.判断题(5分)
设(X,Y)具有联合概率密度函数$f(x,y)=\begin{cases}e^{-y};x>0,y>x\\0;其他\end{cases}$，则此二维随机变量相互独立.
A 错
B 对
A. 错
B. 对
题目解答
答案
A. 错
解析
步骤 1：求边缘概率密度函数
- 对于 $X$ 的边缘密度 $f_X(x)$，我们对 $y$ 进行积分，积分范围是 $y > x$，即从 $x$ 到 $\infty$：
\[ f_X(x) = \int_x^\infty e^{-y} \, dy = -e^{-y} \Big|_x^\infty = e^{-x}, \quad x > 0 \]
- 对于 $Y$ 的边缘密度 $f_Y(y)$，我们对 $x$ 进行积分，积分范围是 $0 < x < y$，即从 $0$ 到 $y$：
\[ f_Y(y) = \int_0^y e^{-y} \, dx = e^{-y} \cdot y = y e^{-y}, \quad y > 0 \]
步骤 2：判断独立性
- 联合密度 $f(x, y) = e^{-y}$，当 $x > 0, y > x$。
- 边缘密度乘积 $f_X(x) f_Y(y) = e^{-x} \cdot y e^{-y} = y e^{-x-y}$，当 $x > 0, y > 0$。
- 由于 $f(x, y) \neq f_X(x) f_Y(y)$，两变量不独立。
- 对于 $X$ 的边缘密度 $f_X(x)$，我们对 $y$ 进行积分，积分范围是 $y > x$，即从 $x$ 到 $\infty$：
\[ f_X(x) = \int_x^\infty e^{-y} \, dy = -e^{-y} \Big|_x^\infty = e^{-x}, \quad x > 0 \]
- 对于 $Y$ 的边缘密度 $f_Y(y)$，我们对 $x$ 进行积分，积分范围是 $0 < x < y$，即从 $0$ 到 $y$：
\[ f_Y(y) = \int_0^y e^{-y} \, dx = e^{-y} \cdot y = y e^{-y}, \quad y > 0 \]
步骤 2：判断独立性
- 联合密度 $f(x, y) = e^{-y}$，当 $x > 0, y > x$。
- 边缘密度乘积 $f_X(x) f_Y(y) = e^{-x} \cdot y e^{-y} = y e^{-x-y}$，当 $x > 0, y > 0$。
- 由于 $f(x, y) \neq f_X(x) f_Y(y)$，两变量不独立。