题目
设可微函数f(x,y)在点P0(x0,y0)取得极小值, 则下列结论正确的是()A. 函数f(x0,y)在点y=y0取处的导数不一定不存在B. 函数f(x0,y)在点y=y0取处的导数小于零C. 函数f(x0,y)在点y=y0取处的导数等于零D. 函数f(x0,y)在点y=y0取处的导数大于零
设可微函数f(x,y)在点P0(x0,y0)取得极小值, 则下列结论正确的是()
A. 函数f(x0,y)在点y=y0取处的导数不一定不存在
B. 函数f(x0,y)在点y=y0取处的导数小于零
C. 函数f(x0,y)在点y=y0取处的导数等于零
D. 函数f(x0,y)在点y=y0取处的导数大于零
题目解答
答案
C. 函数f(x0,y)在点y=y0取处的导数等于零
解析
步骤 1：理解极值点的性质
函数f(x,y)在点P0(x0,y0)取得极小值，意味着在该点附近，函数值f(x,y)不小于f(x0,y0)。根据极值点的性质，函数在极值点处的偏导数为零。
步骤 2：分析函数f(x0,y)在y=y0处的导数
函数f(x0,y)在y=y0处的导数，即偏导数f_y(x0,y0)，表示函数f(x,y)在点P0(x0,y0)沿y方向的变化率。由于f(x,y)在P0(x0,y0)取得极小值，根据极值点的性质，f_y(x0,y0) = 0。
步骤 3：选择正确的选项
根据步骤2的分析，函数f(x0,y)在点y=y0处的导数等于零，因此选项C是正确的。
函数f(x,y)在点P0(x0,y0)取得极小值，意味着在该点附近，函数值f(x,y)不小于f(x0,y0)。根据极值点的性质，函数在极值点处的偏导数为零。
步骤 2：分析函数f(x0,y)在y=y0处的导数
函数f(x0,y)在y=y0处的导数，即偏导数f_y(x0,y0)，表示函数f(x,y)在点P0(x0,y0)沿y方向的变化率。由于f(x,y)在P0(x0,y0)取得极小值，根据极值点的性质，f_y(x0,y0) = 0。
步骤 3：选择正确的选项
根据步骤2的分析，函数f(x0,y)在点y=y0处的导数等于零，因此选项C是正确的。