已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．

考查要点：

1. 一元二次方程根的判别式：通过计算判别式Δ判断根的情况。
2. 根与系数的关系（韦达定理）：利用根的和与积建立方程求解参数。

解题核心思路：

1. 第（1）题：计算判别式Δ，证明其恒大于0，从而说明方程总有两个不等实根。
2. 第（2）题：联立根的和与新的条件方程，解出根的具体值，再结合根的积求出m的值。

破题关键点：

• 判别式的变形：注意Δ中含m²的项，需说明其非负性。
• 方程组的解法：通过消元法解出根α和β，再代入乘积公式求m。

第（1）题

计算判别式

方程的一般形式为 $x^2 - 2x - 3m^2 = 0$，系数为 $a=1$，$b=-2$，$c=-3m^2$。
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3m^2) = 4 + 12m^2$。

分析判别式的符号

由于 $m^2 \geq 0$，因此 $12m^2 \geq 0$，故 $\Delta = 4 + 12m^2 \geq 4 > 0$。
结论：方程总有两个不相等的实数根。

第（2）题

利用根与系数的关系

设方程的根为 $\alpha$ 和 $\beta$，根据韦达定理：
$\begin{cases} \alpha + \beta = 2 \\ \alpha \beta = -3m^2 \end{cases}$
结合题目条件 $\alpha + 2\beta = 5$，联立方程组：
$\begin{cases} \alpha + \beta = 2 \\ \alpha + 2\beta = 5 \end{cases}$

解方程组

用消元法：

1. 用第二个方程减第一个方程：
   $(\alpha + 2\beta) - (\alpha + \beta) = 5 - 2 \implies \beta = 3$。
2. 代入 $\beta = 3$ 到 $\alpha + \beta = 2$，得 $\alpha = -1$。

求m的值

根据 $\alpha \beta = -3m^2$，代入 $\alpha = -1$，$\beta = 3$：
$(-1) \cdot 3 = -3m^2 \implies -3 = -3m^2 \implies m^2 = 1 \implies m = \pm 1$