例6 (89-2 3分)曲线y=cos x(-(pi)/(2)le xle (pi)/(2))与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为( ).A. (pi)/(2)B. πC. (pi^2)/(2)D. pi^2

考查要点：本题主要考查旋转体体积的计算，涉及圆盘法的应用以及三角函数积分的技巧。

解题核心思路：

1. 确定积分方法：绕x轴旋转，选择圆盘法，体积公式为$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$。
2. 处理被积函数：利用半角公式将$\cos^2 x$转化为易积分的形式。
3. 对称性简化：积分区间关于原点对称，可结合偶函数性质简化计算。

破题关键点：

• 正确应用圆盘法公式，明确积分上下限。
• 灵活运用半角公式简化被积函数。
• 注意积分结果的符号和计算准确性。

步骤1：写出圆盘法公式
旋转体体积公式为：
$V = \pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx$

步骤2：应用半角公式
将$\cos^2 x$展开：
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
代入公式得：
$V = \pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx$

步骤3：分项积分
拆分为两个积分：
$V = \frac{\pi}{2} \left[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx \right]$

步骤4：计算第一项积分
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \left. x \right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$

步骤5：计算第二项积分
利用不定积分$\int \cos 2x \, dx = \frac{\sin 2x}{2}$：
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx = \left. \frac{\sin 2x}{2} \right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin \pi}{2} - \frac{\sin(-\pi)}{2} = 0$

步骤6：合并结果
$V = \frac{\pi}{2} \left( \pi + 0 \right) = \frac{\pi^2}{2}$