题目
设((X)^6X)的概率密度为((X)^6X)，则随机变量X的边缘概率密度为（）A.((X)^6X)B.((X)^6X)C.((X)^6X)D.((X)^6X)
设
的概率密度为
，则随机变量X的边缘概率密度为（）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
X的边缘概率密度函数为
，即，因此选择B。
解析
步骤 1：确定边缘概率密度函数的定义
边缘概率密度函数$f(x)$是通过将联合概率密度函数$f(x,y)$在所有可能的$y$值上积分得到的。对于给定的$x$值，$f(x)$表示随机变量$X$取值为$x$的概率密度。
步骤 2：计算边缘概率密度函数$f(x)$
根据题目中给出的联合概率密度函数$f(x,y)$，我们有：
$$f(x,y) = \left \{ \begin{matrix} 6x,0\leqslant x\leqslant 1,x\leqslant y\leqslant 1\\ 0,else\end{matrix} \right.$$
边缘概率密度函数$f(x)$可以通过对$f(x,y)$在$y$的范围内积分得到：
$$f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy$$
由于$f(x,y)$在$y$的范围是$x\leqslant y\leqslant 1$，因此积分范围是$x$到$1$：
$$f(x) = \int_{x}^{1} 6x dy$$
步骤 3：计算积分
$$f(x) = 6x \int_{x}^{1} dy = 6x[y]_{x}^{1} = 6x(1-x) = 6x - 6x^2$$
步骤 4：确定$f(x)$的定义域
根据题目中给出的条件，$0\leqslant x\leqslant 1$，因此$f(x)$的定义域是$0\leqslant x\leqslant 1$。对于$x$不在这个范围内的值，$f(x)=0$。
边缘概率密度函数$f(x)$是通过将联合概率密度函数$f(x,y)$在所有可能的$y$值上积分得到的。对于给定的$x$值，$f(x)$表示随机变量$X$取值为$x$的概率密度。
步骤 2：计算边缘概率密度函数$f(x)$
根据题目中给出的联合概率密度函数$f(x,y)$，我们有：
$$f(x,y) = \left \{ \begin{matrix} 6x,0\leqslant x\leqslant 1,x\leqslant y\leqslant 1\\ 0,else\end{matrix} \right.$$
边缘概率密度函数$f(x)$可以通过对$f(x,y)$在$y$的范围内积分得到：
$$f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy$$
由于$f(x,y)$在$y$的范围是$x\leqslant y\leqslant 1$，因此积分范围是$x$到$1$：
$$f(x) = \int_{x}^{1} 6x dy$$
步骤 3：计算积分
$$f(x) = 6x \int_{x}^{1} dy = 6x[y]_{x}^{1} = 6x(1-x) = 6x - 6x^2$$
步骤 4：确定$f(x)$的定义域
根据题目中给出的条件，$0\leqslant x\leqslant 1$，因此$f(x)$的定义域是$0\leqslant x\leqslant 1$。对于$x$不在这个范围内的值，$f(x)=0$。