2.函数f(z)=3|z|^2在点z=0处是（）A. 解析的B. 可导的C. 不可导的D. 既不解析也不可导

考查要点：本题主要考查复变函数在某一点的可导性和解析性的判断，需要掌握导数的定义、柯西-黎曼方程的应用，以及解析函数的定义。

解题核心思路：

1. 可导性：直接利用导数的定义计算极限，判断是否存在。
2. 解析性：通过柯西-黎曼方程或直接验证函数在邻域内是否可导，判断是否满足解析条件。

破题关键点：

• 导数的路径无关性：复变函数的导数必须与趋近路径无关，否则不可导。
• 柯西-黎曼方程：若函数在某点的邻域内满足柯西-黎曼方程，则可能解析，否则不解析。

可导性分析

根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(\Delta z) - f(0)}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{3|\Delta z|^2}{\Delta z}$
设 $\Delta z = r e^{i\theta}$，则 $|\Delta z| = r$，代入得：
$\lim_{r \to 0} \frac{3r^2}{r e^{i\theta}} = \lim_{r \to 0} 3r e^{-i\theta} = 0$
极限存在且为0，故 $f(z)$ 在 $z=0$ 处可导。

解析性分析

解析要求函数在 $z=0$ 的邻域内处处可导。取 $z \neq 0$，计算导数：
$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z) - f(z)}{\Delta z}$
沿不同路径趋近于0，结果不同：

• 沿实轴：$\Delta z = \Delta x$，则 $f'(z) = 6x$；
• 沿虚轴：$\Delta z = i\Delta y$，则 $f'(z) = 6y$；
  若 $x \neq y$，导数不相等，故 $z \neq 0$ 处不可导。因此，$f(z)$ 在 $z=0$ 处不可解析。