已知三阶行列式 D中的第二列元素依次为1, 2, 3,它们的余子式分别为-1 , 1, 2, D的 值为()A. -3B. -7C. 3D. 7

本题考查三阶行列式的按列展开定理，核心在于正确应用代数余子式的符号规则。题目给出第二列的元素及其对应的余子式，需注意余子式与代数余子式的区别：代数余子式是余子式乘以$(-1)^{i+j}$（$i,j$为元素的行、列号）。解题时需先将余子式转换为代数余子式，再按列展开求和。

步骤1：确定代数余子式

第二列元素为$1,2,3$，对应的余子式为$-1,1,2$。代数余子式$A_{ij}$的计算公式为：
$A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$
其中$M_{ij}$为余子式。第二列的元素行号分别为$1,2,3$，列号均为$2$，因此：

• 第1行第2列：$A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot (-1) = (-1)^3 \cdot (-1) = 1$
• 第2行第2列：$A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot 1 = (-1)^4 \cdot 1 = 1$
• 第3行第2列：$A_{32} = (-1)^{3+2} \cdot 2 = (-1)^5 \cdot 2 = -2$

步骤2：按第二列展开行列式

行列式$D$的值为第二列元素与对应代数余子式的乘积之和：
$D = 1 \cdot A_{12} + 2 \cdot A_{22} + 3 \cdot A_{32} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-2)$

步骤3：计算最终结果

$D = 1 + 2 - 6 = -3$