题目
【题目】-|||-设f(x)在 (-infty ,+infty ) 内连续,则 (int )_(2)^3f(x)dx+(int )_(3)^2f(t)dt+(int )_(1)^2dx= () .-|||-A. -2 B. -1 C.0 D.1
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解积分的性质
积分 ${\int }_{a}^{b}f(x)dx$ 表示函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。当积分上下限交换时，积分值取相反数，即 ${\int }_{a}^{b}f(x)dx=-{\int }_{b}^{a}f(x)dx$。
步骤 2：应用积分性质
根据积分性质，${\int }_{3}^{2}f(t)dt=-{\int }_{2}^{3}f(t)dt$。由于积分变量是虚拟的，${\int }_{2}^{3}f(t)dt={\int }_{2}^{3}f(x)dx$。因此，${\int }_{3}^{2}f(t)dt=-{\int }_{2}^{3}f(x)dx$。
步骤 3：计算定积分
${\int }_{1}^{2}dx$ 表示在区间[1,2]上对1的积分，即 ${\int }_{1}^{2}dx=x|_{1}^{2}=2-1=1$。
步骤 4：合并结果
将上述结果合并，得到 ${\int }_{2}^{3}f(x)dx+{\int }_{3}^{2}f(t)dt+{\int }_{1}^{2}dx={\int }_{2}^{3}f(x)dx-{\int }_{2}^{3}f(x)dx+1=0+1=1$。
积分 ${\int }_{a}^{b}f(x)dx$ 表示函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。当积分上下限交换时，积分值取相反数，即 ${\int }_{a}^{b}f(x)dx=-{\int }_{b}^{a}f(x)dx$。
步骤 2：应用积分性质
根据积分性质，${\int }_{3}^{2}f(t)dt=-{\int }_{2}^{3}f(t)dt$。由于积分变量是虚拟的，${\int }_{2}^{3}f(t)dt={\int }_{2}^{3}f(x)dx$。因此，${\int }_{3}^{2}f(t)dt=-{\int }_{2}^{3}f(x)dx$。
步骤 3：计算定积分
${\int }_{1}^{2}dx$ 表示在区间[1,2]上对1的积分，即 ${\int }_{1}^{2}dx=x|_{1}^{2}=2-1=1$。
步骤 4：合并结果
将上述结果合并，得到 ${\int }_{2}^{3}f(x)dx+{\int }_{3}^{2}f(t)dt+{\int }_{1}^{2}dx={\int }_{2}^{3}f(x)dx-{\int }_{2}^{3}f(x)dx+1=0+1=1$。