题目
设 4 阶 行列式 D 中第 3 行 的元素依次为 1 , 2 , 3 , 4 对应的余子式依次为 4 , 3 , 1 , 2 则 D = ( )A、7B、-7C、21D、-21
设 4 阶 行列式 D 中第 3 行 的元素依次为 1 , 2 , 3 , 4 对应的余子式依次为 4 , 3 , 1 , 2 则 D = ( )
A、7
B、-7
C、21
D、-21
题目解答
答案
故答案为：B
解析
步骤 1：理解行列式展开定理
行列式可以按照任意一行或一列展开，展开式为该行或列的元素与其对应的代数余子式的乘积之和。对于第 i 行的展开，公式为：
\[ |D| = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} \]
其中，\(a_{ij}\) 是行列式第 i 行第 j 列的元素，\(M_{ij}\) 是 \(a_{ij}\) 的余子式，\(n\) 是行列式的阶数。
步骤 2：应用展开定理计算行列式
题目中给出的是第 3 行的元素和对应的余子式，因此我们按照第 3 行展开行列式 D。根据题目，第 3 行的元素依次为 1, 2, 3, 4，对应的余子式依次为 4, 3, 1, 2。代入展开公式，得到：
\[ |D| = (-1)^{3+1} \times 1 \times 4 + (-1)^{3+2} \times 2 \times 3 + (-1)^{3+3} \times 3 \times 1 + (-1)^{3+4} \times 4 \times 2 \]
\[ |D| = 1 \times 4 - 2 \times 3 + 3 \times 1 - 4 \times 2 \]
\[ |D| = 4 - 6 + 3 - 8 \]
\[ |D| = -7 \]
行列式可以按照任意一行或一列展开，展开式为该行或列的元素与其对应的代数余子式的乘积之和。对于第 i 行的展开，公式为：
\[ |D| = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} \]
其中，\(a_{ij}\) 是行列式第 i 行第 j 列的元素，\(M_{ij}\) 是 \(a_{ij}\) 的余子式，\(n\) 是行列式的阶数。
步骤 2：应用展开定理计算行列式
题目中给出的是第 3 行的元素和对应的余子式，因此我们按照第 3 行展开行列式 D。根据题目，第 3 行的元素依次为 1, 2, 3, 4，对应的余子式依次为 4, 3, 1, 2。代入展开公式，得到：
\[ |D| = (-1)^{3+1} \times 1 \times 4 + (-1)^{3+2} \times 2 \times 3 + (-1)^{3+3} \times 3 \times 1 + (-1)^{3+4} \times 4 \times 2 \]
\[ |D| = 1 \times 4 - 2 \times 3 + 3 \times 1 - 4 \times 2 \]
\[ |D| = 4 - 6 + 3 - 8 \]
\[ |D| = -7 \]