一质点从位矢为r(0)=4j的位置以初速度v(0)=4i开始运动，其加速度与时间的关系为a=3ti−2j．所有的长度以米计，时间以秒计．求： (1)经过多长时间质点到达x轴． (2)到达x轴时的位置．

考查要点：本题主要考查变加速度运动的积分求解，涉及运动学中速度、加速度与位移的关系，以及如何通过积分求解运动方程。

解题核心思路：

1. 积分法：通过加速度对时间积分得到速度，再积分速度得到位移，注意积分常数由初始条件确定。
2. 坐标分析：质点到达x轴的条件是y坐标为0，需解方程求出对应时间，再代入x坐标表达式求位置。

破题关键点：

• 正确处理分量积分：加速度在x、y方向分量不同，需分别积分。
• 初始条件应用：速度和位移的初始条件用于确定积分常数。

第（1）题：求到达x轴的时间

求速度表达式

对加速度分量积分：

• x方向：$\displaystyle v_x(t) = \int 3t \, dt = \frac{3}{2}t^2 + C_x$
  初始条件 $v_x(0) = 4$，得 $C_x = 4$，故 $v_x(t) = \frac{3}{2}t^2 + 4$。
• y方向：$\displaystyle v_y(t) = \int (-2) \, dt = -2t + C_y$
  初始条件 $v_y(0) = 0$，得 $C_y = 0$，故 $v_y(t) = -2t$。

求位移表达式

对速度分量积分：

• x方向：$\displaystyle x(t) = \int \left( \frac{3}{2}t^2 + 4 \right) dt = \frac{1}{2}t^3 + 4t + D_x$
  初始条件 $x(0) = 0$，得 $D_x = 0$，故 $x(t) = \frac{1}{2}t^3 + 4t$。
• y方向：$\displaystyle y(t) = \int (-2t) \, dt = -t^2 + D_y$
  初始条件 $y(0) = 4$，得 $D_y = 4$，故 $y(t) = -t^2 + 4$。

求y坐标为0的时间

解方程 $y(t) = 0$：
$-t^2 + 4 = 0 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \, \text{s} \quad (\text{取正值})$

第（2）题：求到达x轴时的位置

将 $t = 2$ 代入 $x(t)$：
$x(2) = \frac{1}{2}(2)^3 + 4 \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 8 + 8 = 4 + 8 = 12 \, \text{m}$
此时 $y(2) = 0$，故位置为 $(12, 0)$。