题目
设A,B为n阶可逆矩阵,O为n阶零矩阵,则 |-2[ (B) dfrac ({(-2))^n|A|}(|B|)-|||-(C) ^n|A||B| (D) ((-2))^n|A||B|
题目解答
答案
解析
步骤 1：矩阵的行列式
矩阵 $[ \begin{matrix} {A}^{r}& 0\\ 0& {B}^{-1}\end{matrix} ]$ 是一个2n阶矩阵，其中A和B是n阶可逆矩阵，O是n阶零矩阵。矩阵的行列式可以表示为 $|A^r||B^{-1}|$，因为A和B是可逆矩阵，所以它们的行列式不为零。
步骤 2：行列式的性质
行列式的性质之一是，如果一个矩阵乘以一个常数k，那么它的行列式将乘以 $k^{n}$，其中n是矩阵的阶数。因此，$|-2[ \begin{matrix} {A}^{r}& 0\\ 0& {B}^{-1}\end{matrix} ] | = (-2)^{2n} |A^r||B^{-1}|$。
步骤 3：计算行列式
由于 $|A^r| = |A|^r$，并且 $|B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$，所以 $|-2[ \begin{matrix} {A}^{r}& 0\\ 0& {B}^{-1}\end{matrix} ] | = (-2)^{2n} |A|^r \frac{1}{|B|} = 4^n \frac{|A|^r}{|B|}$。
矩阵 $[ \begin{matrix} {A}^{r}& 0\\ 0& {B}^{-1}\end{matrix} ]$ 是一个2n阶矩阵，其中A和B是n阶可逆矩阵，O是n阶零矩阵。矩阵的行列式可以表示为 $|A^r||B^{-1}|$，因为A和B是可逆矩阵，所以它们的行列式不为零。
步骤 2：行列式的性质
行列式的性质之一是，如果一个矩阵乘以一个常数k，那么它的行列式将乘以 $k^{n}$，其中n是矩阵的阶数。因此，$|-2[ \begin{matrix} {A}^{r}& 0\\ 0& {B}^{-1}\end{matrix} ] | = (-2)^{2n} |A^r||B^{-1}|$。
步骤 3：计算行列式
由于 $|A^r| = |A|^r$，并且 $|B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$，所以 $|-2[ \begin{matrix} {A}^{r}& 0\\ 0& {B}^{-1}\end{matrix} ] | = (-2)^{2n} |A|^r \frac{1}{|B|} = 4^n \frac{|A|^r}{|B|}$。