题目
1.证明:两向量a与b平行的充分必要条件是存在不全为零的实数λ和μ,使得-|||-lambda a+mu b=0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：充分性证明
假设存在不全为零的实数 $\lambda$ 和 $\mu$，使得 $\lambda a + \mu b = 0$。不失一般性，假设 $\lambda \neq 0$，则可以将上式改写为 $a = -\frac{\mu}{\lambda} b$。这表明向量 $a$ 可以表示为向量 $b$ 的一个实数倍，即 $a$ 与 $b$ 平行。
步骤 2：必要性证明
假设向量 $a$ 与 $b$ 平行，即存在实数 $k$，使得 $a = kb$。将此关系代入 $\lambda a + \mu b = 0$，得到 $\lambda (kb) + \mu b = 0$，即 $(\lambda k + \mu) b = 0$。由于 $b$ 不为零向量，因此 $\lambda k + \mu = 0$。这表明存在不全为零的实数 $\lambda$ 和 $\mu$，使得 $\lambda a + \mu b = 0$ 成立。
假设存在不全为零的实数 $\lambda$ 和 $\mu$，使得 $\lambda a + \mu b = 0$。不失一般性，假设 $\lambda \neq 0$，则可以将上式改写为 $a = -\frac{\mu}{\lambda} b$。这表明向量 $a$ 可以表示为向量 $b$ 的一个实数倍，即 $a$ 与 $b$ 平行。
步骤 2：必要性证明
假设向量 $a$ 与 $b$ 平行，即存在实数 $k$，使得 $a = kb$。将此关系代入 $\lambda a + \mu b = 0$，得到 $\lambda (kb) + \mu b = 0$，即 $(\lambda k + \mu) b = 0$。由于 $b$ 不为零向量，因此 $\lambda k + \mu = 0$。这表明存在不全为零的实数 $\lambda$ 和 $\mu$，使得 $\lambda a + \mu b = 0$ 成立。