设函数f(x),g(x)具有二阶导数,且g”(x)A. f’(a)B. f’(A)>0.C. f”(A)D. f”(A)>0.

考查要点：本题主要考查复合函数极值的充分条件，涉及一阶、二阶导数的应用，以及极值点的判定。

解题核心思路：

1. 复合函数求导：利用链式法则求导，明确一阶导数和二阶导数的表达式。
2. 极值条件：在极值点处，一阶导数为零，二阶导数的符号决定极大或极小。
3. 关键条件转化：结合题目中给出的g''(x) < 0（说明g(x)在极值点x₀处取得极大值），分析复合函数f[g(x)]在x₀处的二阶导数符号。

破题关键点：

• 一阶导数为零：由于g(x₀)=a是极值点，g'(x₀)=0，因此复合函数一阶导数为f'(a)·g'(x₀)=0，满足必要条件。
• 二阶导数符号决定极值类型：通过二阶导数表达式f''(a)[g'(x)]² + f'(a)g''(x)，在x₀处代入g'(x₀)=0后，仅剩f'(a)g''(x₀)。由于g''(x₀) < 0，需f'(a) > 0使整体为负，从而f[g(x)]在x₀处取得极大值。

步骤1：求复合函数的一阶导数

复合函数f[g(x)]的一阶导数为：
$\frac{d}{dx}f[g(x)] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
在极值点x₀处，g'(x₀)=0，因此：
$\left. \frac{d}{dx}f[g(x)] \right|_{x=x₀} = f'(a) \cdot 0 = 0$
满足极值的必要条件。

步骤2：求复合函数的二阶导数

二阶导数为：
$\frac{d^2}{dx^2}f[g(x)] = f''(g(x)) \cdot [g'(x)]^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$
在x₀处代入g(x₀)=a和g'(x₀)=0，得：
$\left. \frac{d^2}{dx^2}f[g(x)] \right|_{x=x₀} = f'(a) \cdot g''(x₀)$

步骤3：分析二阶导数的符号

题目中已知g''(x) < 0，因此g''(x₀) < 0。若要使复合函数在x₀处取得极大值，需：
$f'(a) \cdot g''(x₀) < 0$
由于g''(x₀) < 0，需f'(a) > 0，即选项B。