已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=sqrt(2)，则overrightarrow(PA)•overrightarrow(PD)的最大值为（　　）A. ((1+sqrt(2)))/(2)B. ((1+2sqrt(2)))/(2)C. 1+sqrt(2)D. 2+sqrt(2)

考查要点：本题综合考查几何与向量的结合，涉及圆的切线性质、向量点积的最值问题，需要运用三角函数、几何关系及极值求解方法。

解题核心思路：

1. 几何性质应用：利用切线性质（切线与半径垂直）确定关键角度，结合勾股定理求出线段长度。
2. 向量点积表达：将向量点积转化为三角函数表达式，通过角度参数化简表达式。
3. 极值求解：利用三角恒等式将表达式转化为单一三角函数形式，结合角度范围确定最大值。

破题关键点：

• 确定关键角度：通过几何关系找到角度$\alpha$的范围及与向量方向的关系。
• 向量模长与夹角计算：结合几何图形推导$\overrightarrow{PA}$和$\overrightarrow{PD}$的模长及夹角。
• 三角恒等变换：将复杂三角表达式转化为标准形式，便于求极值。

步骤1：几何关系分析

1. 切线性质：$\because PA$与⊙O相切于$A$，$\therefore PA \perp OA$，即$\angle OAP = 90^\circ$。
2. 勾股定理：在$\triangle OAP$中，$OP = \sqrt{2}$，$OA = 1$，故$PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} = 1$。
3. 角度关系：$\angle APO = 45^\circ$（等腰直角三角形性质）。

步骤2：向量点积表达式

1. 向量模长：$|\overrightarrow{PA}| = 1$，$|\overrightarrow{PD}| = \sqrt{2} \cos \alpha$（几何关系推导）。
2. 夹角计算：$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PD} = |\overrightarrow{PA}| \cdot |\overrightarrow{PD}| \cdot \cos(\alpha + 45^\circ)$。
3. 表达式化简：
   $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PD} = 1 \cdot \sqrt{2} \cos \alpha \cdot \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$
   展开并化简为：
   $\cos^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$

步骤3：极值求解

1. 角度范围：$-\frac{\pi}{4} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{4}$，故$2\alpha + \frac{\pi}{4}$的范围为$-\frac{\pi}{4} \leq 2\alpha + \frac{\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{4}$。
2. 最大值条件：当$\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 1$时，即$2\alpha + \frac{\pi}{4} = 0$，$\alpha = -\frac{\pi}{8}$，此时点积取得最大值：
   $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$