[题目]若-|||-=(int )_(0)^2(x)^2dx =(int )_(0)^2(x)^3dx, =(int )_(0)^2sin xdx, 则a,b,c大-|||-小关系是() ()-|||-A. lt clt b-|||-B. lt blt c-|||-C. lt blt a-|||-D. lt alt b

考查要点：本题主要考查定积分的计算及数值比较，需要学生掌握多项式函数、三角函数的积分方法，并能通过计算结果比较大小。

解题核心思路：

1. 分别计算三个积分的值：通过求原函数并代入上下限，得到$a$、$b$、$c$的具体数值。
2. 比较数值大小：将计算结果转化为具体数值或有效比较形式，确定三者的大小关系。

破题关键点：

• 积分计算准确性：注意积分公式的正确应用，尤其是三角函数积分的符号处理。
• 数值估算技巧：对于涉及三角函数的积分结果（如$c$），需结合余弦函数的取值范围进行合理估算。

计算$a$的值

$a = \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{3}(2^3 - 0^3) = \frac{8}{3} \approx 2.6667$

计算$b$的值

$b = \int_{0}^{2} x^3 \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{4}(2^4 - 0^4) = \frac{16}{4} = 4$

计算$c$的值

$c = \int_{0}^{2} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{2} = (-\cos 2) - (-\cos 0) = 1 - \cos 2$
关键估算：
由于$2$弧度约为$114.59^\circ$，$\cos 2 \approx -0.4161$，因此：
$c \approx 1 - (-0.4161) = 1.4161$

比较大小

• $c \approx 1.4161$，$a \approx 2.6667$，$b = 4$
• 大小关系：$c < a < b$