题目
xoy面上双曲线4x^2-9y^2=36分别绕x轴、y轴旋转一周所得旋转曲面的方程依次为__________和__________。 A. 4x^2-9y^2-9z^2=36, 4x^2-9y^2+4z^2=36B. 4x^2-9y^2-9z^2=36, 4x^2-9y^2-4z^2=36C. 4x^2-9y^2+9z^2=36, 4x^2-9y^2+4z^2=36D. 4x^2-9y^2+9z^2=36, 4x^2-9y^2+4z^2=36
$xoy$面上双曲线$4x^2-9y^2=36$分别绕$x$轴、$y$轴旋转一周所得旋转曲面的方程依次为__________和__________。
- A. $4x^2-9y^2-9z^2=36, 4x^2-9y^2+4z^2=36$
- B. $4x^2-9y^2-9z^2=36, 4x^2-9y^2-4z^2=36$
- C. $4x^2-9y^2+9z^2=36, 4x^2-9y^2+4z^2=36$
- D. $4x^2-9y^2+9z^2=36, 4x^2-9y^2+4z^2=36$
题目解答
答案
绕 $x$ 轴旋转时，将 $y^2$ 替换为 $y^2 + z^2$，方程变为：
\[
4x^2 - 9(y^2 + z^2) = 36 \implies 4x^2 - 9y^2 - 9z^2 = 36
\]
绕 $y$ 轴旋转时，将 $x^2$ 替换为 $x^2 + z^2$，方程变为：
\[
4(x^2 + z^2) - 9y^2 = 36 \implies 4x^2 - 9y^2 + 4z^2 = 36
\]
答案：$\boxed{A}$。
解析
考查要点：本题主要考查旋转曲面的方程推导，涉及双曲线绕坐标轴旋转后的曲面方程形式。
解题核心思路：
- 绕x轴旋转时，原双曲线中的$y^2$会被替换为$y^2 + z^2$，因为旋转后$y$和$z$方向形成圆。
- 绕y轴旋转时，原双曲线中的$x^2$会被替换为$x^2 + z^2$，因为旋转后$x$和$z$方向形成圆。
- 通过变量替换，将平面方程扩展为空间方程。
破题关键点：
- 明确旋转轴对应的变量替换规则，避免混淆$x$和$y$的替换方向。
绕$x$轴旋转
原双曲线方程为$4x^2 - 9y^2 = 36$。
绕$x$轴旋转时，$y$方向扩展为圆，需将$y^2$替换为$y^2 + z^2$，得：
$4x^2 - 9(y^2 + z^2) = 36 \implies 4x^2 - 9y^2 - 9z^2 = 36.$
绕$y$轴旋转
绕$y$轴旋转时，$x$方向扩展为圆，需将$x^2$替换为$x^2 + z^2$，得：
$4(x^2 + z^2) - 9y^2 = 36 \implies 4x^2 - 9y^2 + 4z^2 = 36.$