试求下列极限:-|||-lim _(xarrow 2)(sqrt (3-x)+ln dfrac (x)(2))dfrac (1)({sin )^2(x-2)}

考查要点：本题主要考查变上限变量替换、泰勒展开以及重要极限公式的应用，属于“1的∞次方”型极限问题。

解题核心思路：

1. 变量替换：令$x-2 = t$，将极限转化为关于$t \rightarrow 0$的形式，简化表达式。
2. 泰勒展开：对底数中的$\sqrt{1-t}$和$\ln(1+\frac{t}{2})$展开至二次项，合并后得到$1 - \frac{t^2}{4} + o(t^2)$。
3. 重要极限公式：利用$\lim_{t \rightarrow 0} (1 + a t^2)^{\frac{1}{t^2}} = e^{a}$，直接得出结果。

破题关键点：

• 识别极限类型：通过底数趋近于1、指数趋近于无穷大，确定使用自然对数转换或泰勒展开。
• 展开精度控制：需展开至二次项，确保保留足够的精度以匹配指数中的$\frac{1}{t^2}$。

变量替换：令$x = 2 + t$，则当$x \rightarrow 2$时，$t \rightarrow 0$。原式变形为：
$\lim_{t \rightarrow 0} \left( \sqrt{1 - t} + \ln\left(1 + \frac{t}{2}\right) \right)^{\frac{1}{\sin^2 t}}.$

泰勒展开：

1. $\sqrt{1 - t}$展开至二次项：
   $\sqrt{1 - t} = 1 - \frac{t}{2} - \frac{t^2}{8} + o(t^2).$
2. $\ln\left(1 + \frac{t}{2}\right)$展开至二次项：
   $\ln\left(1 + \frac{t}{2}\right) = \frac{t}{2} - \frac{t^2}{8} + o(t^2).$
3. 合并底数部分：
   $\sqrt{1 - t} + \ln\left(1 + \frac{t}{2}\right) = 1 - \frac{t^2}{4} + o(t^2).$

应用重要极限公式：
将底数写为$1 - \frac{t^2}{4}$，指数近似为$\frac{1}{t^2}$，则：
$\lim_{t \rightarrow 0} \left(1 - \frac{t^2}{4}\right)^{\frac{1}{t^2}} = e^{-\frac{1}{4}}.$