波长为5000?的平行光垂直入射于一宽1.00mm的狭缝,若 在缝后面有一焦距f = 100cm的薄透镜使光线聚焦于一屏上,该屏在 透镜的焦平面上,试问从衍射图形的中央点到下列各点的距离大小为 多少?(1)第 一级极小 (2)第二级明纹中心 (3)第三级极小

考查要点：本题主要考查单缝衍射的明暗纹条件及其位置计算，涉及波长单位换算和几何近似关系。

解题核心思路：

1. 单缝衍射规律：暗纹（极小）由公式 $a \sin \theta = k\lambda$ 决定，明纹（极大）由公式 $a \sin \theta = (2k+1)\frac{\lambda}{2}$ 决定。
2. 几何近似：当衍射角 $\theta$ 很小，可近似 $\tan \theta \approx \sin \theta$，从而将衍射角与屏上位置关联。
3. 单位统一：需将波长 $\lambda = 5000 \, \text{Å}$ 转换为米制，缝宽 $a$ 和焦距 $f$ 保持一致单位。

破题关键点：

• 级数对应关系：明确题目中“第k级极小”和“第k级明纹中心”对应的公式参数 $k$。
• 公式代入计算：通过 $x_k = f \cdot \frac{k\lambda}{a}$ 和 $x'_k = f \cdot \frac{(2k+1)\lambda}{2a}$ 直接求解位置。

第（1）题：第一级极小

1. 暗纹公式：$a \sin \theta = k\lambda$，其中 $k=1$。
2. 几何关系：$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{\lambda}{a}$。
3. 位置计算：
   $x_1 = f \cdot \frac{\lambda}{a} = 1 \, \text{m} \cdot \frac{5000 \times 10^{-10} \, \text{m}}{1.00 \times 10^{-3} \, \text{m}} = 0.5 \, \text{mm}.$

第（2）题：第二级明纹中心

1. 明纹公式：$a \sin \theta = (2k+1)\frac{\lambda}{2}$，其中 $k=2$（对应第二级明纹）。
2. 几何关系：$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{(2k+1)\lambda}{2a}$。
3. 位置计算：
   $x'_2 = f \cdot \frac{(2 \cdot 2 + 1)\lambda}{2a} = 1 \, \text{m} \cdot \frac{5 \cdot 5000 \times 10^{-10} \, \text{m}}{2 \cdot 1.00 \times 10^{-3} \, \text{m}} = 1.25 \, \text{mm}.$

第（3）题：第三级极小

1. 暗纹公式：$a \sin \theta = k\lambda$，其中 $k=3$。
2. 几何关系：$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{3\lambda}{a}$。
3. 位置计算：
   $x_3 = f \cdot \frac{3\lambda}{a} = 1 \, \text{m} \cdot \frac{3 \cdot 5000 \times 10^{-10} \, \text{m}}{1.00 \times 10^{-3} \, \text{m}} = 1.5 \, \text{mm}.$