题目
设 lim _(xarrow 0)((x)^-3sin 3x+a(x)^-2+b)=0, 求a,b的值,
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用等价无穷小替换
由于 $\sin 3x$ 在 $x \rightarrow 0$ 时与 $3x$ 等价，即 $\sin 3x \sim 3x$，因此可以将原极限中的 $\sin 3x$ 替换为 $3x$。
步骤 2：代入替换后的表达式
将 $\sin 3x$ 替换为 $3x$ 后，原极限变为 $\lim _{x\rightarrow 0}({x}^{-3} \cdot 3x + a{x}^{-2} + b)$。
步骤 3：化简表达式
化简后得到 $\lim _{x\rightarrow 0}(3{x}^{-2} + a{x}^{-2} + b)$，即 $\lim _{x\rightarrow 0}((3+a){x}^{-2} + b)$。
步骤 4：分析极限条件
由于极限值为0，且 ${x}^{-2}$ 在 $x \rightarrow 0$ 时趋于无穷大，因此 $(3+a){x}^{-2}$ 必须为0，即 $3+a=0$，从而得到 $a=-3$。
步骤 5：确定b的值
由于 $(3+a){x}^{-2}$ 为0，因此极限值由 $b$ 决定，即 $b=0$。
由于 $\sin 3x$ 在 $x \rightarrow 0$ 时与 $3x$ 等价，即 $\sin 3x \sim 3x$，因此可以将原极限中的 $\sin 3x$ 替换为 $3x$。
步骤 2：代入替换后的表达式
将 $\sin 3x$ 替换为 $3x$ 后，原极限变为 $\lim _{x\rightarrow 0}({x}^{-3} \cdot 3x + a{x}^{-2} + b)$。
步骤 3：化简表达式
化简后得到 $\lim _{x\rightarrow 0}(3{x}^{-2} + a{x}^{-2} + b)$，即 $\lim _{x\rightarrow 0}((3+a){x}^{-2} + b)$。
步骤 4：分析极限条件
由于极限值为0，且 ${x}^{-2}$ 在 $x \rightarrow 0$ 时趋于无穷大，因此 $(3+a){x}^{-2}$ 必须为0，即 $3+a=0$，从而得到 $a=-3$。
步骤 5：确定b的值
由于 $(3+a){x}^{-2}$ 为0，因此极限值由 $b$ 决定，即 $b=0$。