设 gt 0 时 f(x)可导,且满足 (x)=1+dfrac (1)(x)(int )_(1)^xf(t)dt, 求 f(x).

步骤 1：将给定的等式两边乘以 x
给定的等式是 $f(x)=1+\dfrac {1}{x}{\int }_{1}^{x}f(t)dt$ 。为了简化这个等式，我们首先将等式两边乘以 x，得到 $xf(x)=x+{\int }_{1}^{x}f(t)dt$ 。
步骤 2：对等式两边关于 x 求导
对 $xf(x)=x+{\int }_{1}^{x}f(t)dt$ 关于 x 求导，得到 $f(x)+xf'(x)=1+f(x)$ 。这里我们使用了微积分基本定理，即 ${\int }_{1}^{x}f(t)dt$ 关于 x 的导数是 f(x)。
步骤 3：解出 f'(x)
从 $f(x)+xf'(x)=1+f(x)$ 中解出 $f'(x)$，得到 $f'(x)=\dfrac {1}{x}$。
步骤 4：求出 f(x)
由于 $f'(x)=\dfrac {1}{x}$，对 $f'(x)$ 积分得到 $f(x)=\ln x+C$，其中 C 是积分常数。
步骤 5：确定常数 C
根据题目条件，当 x=1 时，f(1)=1，代入 $f(x)=\ln x+C$ 得到 $1=\ln 1+C$，即 $C=1$。