求旋转抛物面 =(x)^2+(y)^2(0leqslant zleqslant 4) 在三坐标面上的投影.

考查要点：本题主要考查旋转抛物面在三个坐标面上的投影求解方法，需要理解投影的几何意义及联立方程消元的技巧。

解题核心思路：

1. 投影定义：曲面在某个坐标面上的投影是曲面上所有点在该坐标面上的垂直“影子”，即消去第三个坐标变量后得到的区域。
2. 联立方程消元：分别联立旋转抛物面方程与三个坐标面的方程（如$x=0$、$y=0$、$z=0$），消去对应变量，得到投影边界曲线，进而确定投影区域。

破题关键点：

• xOy面投影：消去$z$，得到$x^2 + y^2 \leq 4$，对应$z=0$的圆。
• yOz面投影：消去$x$，得到$z = y^2$与$z=4$围成的区域。
• xOz面投影：消去$y$，得到$z = x^2$与$z=4$围成的区域。

xOy面的投影

1. 联立方程：旋转抛物面$z = x^2 + y^2$与xOy面$z=0$联立，消去$z$得$x^2 + y^2 = 0$，仅在原点处相交。
2. 整体投影分析：由于$0 \leq z \leq 4$，当$z$从$0$到$4$时，$x^2 + y^2$的取值范围为$0 \leq x^2 + y^2 \leq 4$。
3. 投影区域：所有满足$x^2 + y^2 \leq 4$的点在xOy面上的投影为半径为2的圆，对应$z=0$。

yOz面的投影

1. 联立方程：旋转抛物面$z = x^2 + y^2$与yOz面$x=0$联立，消去$x$得$z = y^2$。
2. 结合$z$范围：当$z=4$时，$y^2 = 4$，即$y = \pm 2$。
3. 投影区域：由抛物线$z = y^2$和直线$z=4$围成的区域，$y \in [-2, 2]$，$z \in [y^2, 4]$。

xOz面的投影

1. 联立方程：旋转抛物面$z = x^2 + y^2$与xOz面$y=0$联立，消去$y$得$z = x^2$。
2. 结合$z$范围：当$z=4$时，$x^2 = 4$，即$x = \pm 2$。
3. 投影区域：由抛物线$z = x^2$和直线$z=4$围成的区域，$x \in [-2, 2]$，$z \in [x^2, 4]$。