11 单选(4分)-|||-设函数 z=z(x,y) 由方程 (x)^2+(y)^2+(z)^2+2xy-2x-2y-4z+4=0 所确定,则下列结论-|||-不正确的是 () .-|||-A.函数 z=z(x,y) 有极大值 z=3-|||-bigcirc B.函数 z=z(x,y) 有极小值 =1-|||-C.(0,1)不是极值点-|||-D.函数 z=z(x,y) 有一个驻点(0,1)

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要对给定的方程 $2{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+2xy-2x-2y-4z+4=0$ 求偏导数，以确定函数 $z=z(x,y)$ 的驻点。
对 $x$ 求偏导数，得到：
$$
\frac{\partial}{\partial x}(2{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+2xy-2x-2y-4z+4)=4x+2z\frac{\partial z}{\partial x}+2y-2-4\frac{\partial z}{\partial x}=0
$$
对 $y$ 求偏导数，得到：
$$
\frac{\partial}{\partial y}(2{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+2xy-2x-2y-4z+4)=2y+2z\frac{\partial z}{\partial y}+2x-2-4\frac{\partial z}{\partial y}=0
$$
步骤 2：求驻点
将上述偏导数方程联立，解得驻点 $(x,y)$。
$$
\left \{ \begin{matrix} 4x+2z\frac{\partial z}{\partial x}+2y-2-4\frac{\partial z}{\partial x}=0\\ 2y+2z\frac{\partial z}{\partial y}+2x-2-4\frac{\partial z}{\partial y}=0\end{matrix} \right.
$$
解得驻点 $(0,1)$。
步骤 3：求二阶偏导数
为了判断驻点 $(0,1)$ 是否为极值点，我们需要求二阶偏导数。
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(4x+2z\frac{\partial z}{\partial x}+2y-2-4\frac{\partial z}{\partial x})
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(2y+2z\frac{\partial z}{\partial y}+2x-2-4\frac{\partial z}{\partial y})
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(4x+2z\frac{\partial z}{\partial x}+2y-2-4\frac{\partial z}{\partial x})
$$
步骤 4：判断极值点
将驻点 $(0,1)$ 代入二阶偏导数，判断极值点。
$$
\left \{ \begin{matrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2y=0\\ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2+2z\frac{\partial z}{\partial y}+2x-2-4\frac{\partial z}{\partial y}=0\\ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 2z\frac{\partial z}{\partial x}+2z\frac{\partial z}{\partial y}+2-4\frac{\partial z}{\partial y}=0\end{matrix} \right.
$$
将 $x=0$，$y=1$ 代入方程，得到 $z=1$ 或 $z=3$。
当 $z=1$ 时，$A=2$，$B=1$，$C=1$，$AC-B^2>0$ 且 $A>0$，所以 $f(x,y)$ 在 $(0,1)$ 有极小值 $z=1$。
当 $z=3$ 时，$A=8$，$B=1$，$C=-1$，$AC-B^2>0$ 且 $A<0$，所以 $f(x,y)$ 在 $(0,1)$ 有极大值 $z=3$。