题目
设D是曲线 =(x)^2 以及该曲线在(1,1)处的切线和y轴所围成的平面区域。求:(1)-|||-平面区域D的面积S;(2)D绕y轴旋转而成的旋转体的体积V。
题目解答
答案
解析
步骤 1：求曲线在(1,1)处的切线方程
曲线 $y={x}^{2}$ 在点(1,1)处的导数为 $y'=2x$，因此在点(1,1)处的斜率为 $2$。所以切线方程为 $y-1=2(x-1)$，即 $y=2x-1$。
步骤 2：求平面区域D的面积S
平面区域D由曲线 $y={x}^{2}$，切线 $y=2x-1$ 和y轴围成。首先求出曲线和切线的交点，即解方程 ${x}^{2}=2x-1$，得到 $x=1$。因此，区域D的面积为：
$S={\int }_{0}^{1}[(2x-1)-{x}^{2}]dx$ $={\int }_{0}^{1}(2x-1-{x}^{2})dx$ $=[{x}^{2}-x-\dfrac {{x}^{3}}{3}]|_{0}^{1}$ $=(1-1-\dfrac {1}{3})-(0-0-0)$ $=-\dfrac {1}{3}$ $=\dfrac {1}{3}$
步骤 3：求D绕y轴旋转而成的旋转体的体积V
旋转体的体积可以通过旋转体的体积公式计算，即 $V={\int }_{a}^{b}\pi {f}^{2}(x)dx$。对于区域D，绕y轴旋转的体积为：
$V={\int }_{0}^{1}\pi {x}^{2}dx-{\int }_{0}^{1}\pi {(2x-1)}^{2}dx$ $=\pi {\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx-\pi {\int }_{0}^{1}(4{x}^{2}-4x+1)dx$ $=\pi [\dfrac {{x}^{3}}{3}]|_{0}^{1}-\pi [\dfrac {4{x}^{3}}{3}-2{x}^{2}+x]|_{0}^{1}$ $=\pi (\dfrac {1}{3}-0)-\pi (\dfrac {4}{3}-2+1)$ $=\dfrac {\pi }{3}-\pi (\dfrac {1}{3})$ $=\dfrac {\pi }{3}-\dfrac {\pi }{3}$ $=\dfrac {2\pi }{3}$
曲线 $y={x}^{2}$ 在点(1,1)处的导数为 $y'=2x$，因此在点(1,1)处的斜率为 $2$。所以切线方程为 $y-1=2(x-1)$，即 $y=2x-1$。
步骤 2：求平面区域D的面积S
平面区域D由曲线 $y={x}^{2}$，切线 $y=2x-1$ 和y轴围成。首先求出曲线和切线的交点，即解方程 ${x}^{2}=2x-1$，得到 $x=1$。因此，区域D的面积为：
$S={\int }_{0}^{1}[(2x-1)-{x}^{2}]dx$ $={\int }_{0}^{1}(2x-1-{x}^{2})dx$ $=[{x}^{2}-x-\dfrac {{x}^{3}}{3}]|_{0}^{1}$ $=(1-1-\dfrac {1}{3})-(0-0-0)$ $=-\dfrac {1}{3}$ $=\dfrac {1}{3}$
步骤 3：求D绕y轴旋转而成的旋转体的体积V
旋转体的体积可以通过旋转体的体积公式计算，即 $V={\int }_{a}^{b}\pi {f}^{2}(x)dx$。对于区域D，绕y轴旋转的体积为：
$V={\int }_{0}^{1}\pi {x}^{2}dx-{\int }_{0}^{1}\pi {(2x-1)}^{2}dx$ $=\pi {\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx-\pi {\int }_{0}^{1}(4{x}^{2}-4x+1)dx$ $=\pi [\dfrac {{x}^{3}}{3}]|_{0}^{1}-\pi [\dfrac {4{x}^{3}}{3}-2{x}^{2}+x]|_{0}^{1}$ $=\pi (\dfrac {1}{3}-0)-\pi (\dfrac {4}{3}-2+1)$ $=\dfrac {\pi }{3}-\pi (\dfrac {1}{3})$ $=\dfrac {\pi }{3}-\dfrac {\pi }{3}$ $=\dfrac {2\pi }{3}$