13.求函数 (x)=((x-4))^3sqrt ({(x+1))^2} 的单调区间与极值.

步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $f(x)={(x-4)}^{3}\sqrt {{(x+1)}^{2}}$ 的导数 $f'(x)$。根据乘积法则和链式法则，我们有：
$$
f'(x) = 3{(x-4)}^{2}\sqrt {{(x+1)}^{2}} + {(x-4)}^{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2(x+1)}{\sqrt {{(x+1)}^{2}}}
$$
化简得：
$$
f'(x) = 3{(x-4)}^{2}\sqrt {{(x+1)}^{2}} + {(x-4)}^{3} \cdot \frac{x+1}{\sqrt {{(x+1)}^{2}}}
$$
进一步化简得：
$$
f'(x) = 3{(x-4)}^{2}\sqrt {{(x+1)}^{2}} + {(x-4)}^{3} \cdot \frac{x+1}{|x+1|}
$$
步骤 2：确定导数的符号
为了确定函数的单调区间，我们需要分析导数 $f'(x)$ 的符号。注意到 $f'(x)$ 的符号取决于 $(x-4)^2$ 和 $\frac{x+1}{|x+1|}$ 的符号。由于 $(x-4)^2$ 总是非负的，因此 $f'(x)$ 的符号主要由 $\frac{x+1}{|x+1|}$ 决定。当 $x > -1$ 时，$\frac{x+1}{|x+1|} = 1$；当 $x < -1$ 时，$\frac{x+1}{|x+1|} = -1$。因此，我们可以得到：
- 当 $x > -1$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增。
- 当 $x < -1$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。
步骤 3：确定极值点
根据导数的符号变化，我们可以确定函数的极值点。当 $x = -1$ 时，$f'(x)$ 从负变正，因此 $x = -1$ 是函数的极小值点。当 $x = 1$ 时，$f'(x)$ 从正变负，因此 $x = 1$ 是函数的极大值点。