题目
设L为抛物线 =1-(x)^2 与 y=0 所固成的封闭曲线,取逆时针方向,则 _(Delta )(x(y)^2+2xsin y)dx+((x)^3+(x)^2cos y)dy= ()-|||-A -dfrac (4)(5)-|||-B 0-|||-C dfrac (4)(5)
题目解答
答案
B. 0
解析
步骤 1：应用格林公式
格林公式用于计算平面区域上的曲线积分，公式为：
${\int }_{L}Pdx+Qdy=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$
其中，$P(x,y)=x{y}^{2}+2x\sin y$，$Q(x,y)={x}^{3}+{x}^{2}\cos y$，$D$为由抛物线$y=1-{x}^{2}$与$y=0$围成的区域。
步骤 2：计算偏导数
计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$：
$\frac{\partial Q}{\partial x}=3{x}^{2}+2x\cos y$
$\frac{\partial P}{\partial y}=2xy+2x\cos y$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3{x}^{2}+2x\cos y-(2xy+2x\cos y)=3{x}^{2}-2xy$
步骤 3：计算二重积分
将$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$代入格林公式，得到：
${\int }_{L}Pdx+Qdy=\iint_{D}(3{x}^{2}-2xy)dxdy$
其中，$D$的边界由$y=1-{x}^{2}$和$y=0$确定，$x$的范围为$[-1,1]$，$y$的范围为$[0,1-{x}^{2}]$。
$\iint_{D}(3{x}^{2}-2xy)dxdy=\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-{x}^{2}}(3{x}^{2}-2xy)dydx$
$=\int_{-1}^{1}[(3{x}^{2}y-x{y}^{2})|_{0}^{1-{x}^{2}}]dx$
$=\int_{-1}^{1}(3{x}^{2}(1-{x}^{2})-x(1-{x}^{2})^{2})dx$
$=\int_{-1}^{1}(3{x}^{2}-3{x}^{4}-x+2{x}^{3}-{x}^{5})dx$
$=\int_{-1}^{1}(3{x}^{2}-3{x}^{4}-x+2{x}^{3}-{x}^{5})dx$
$=[{x}^{3}-{x}^{5}-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}{x}^{4}-\frac{1}{6}{x}^{6}]_{-1}^{1}$
$=(1-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6})-(-1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6})$
$=\frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})$
$=\frac{2}{3}$
格林公式用于计算平面区域上的曲线积分，公式为：
${\int }_{L}Pdx+Qdy=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$
其中，$P(x,y)=x{y}^{2}+2x\sin y$，$Q(x,y)={x}^{3}+{x}^{2}\cos y$，$D$为由抛物线$y=1-{x}^{2}$与$y=0$围成的区域。
步骤 2：计算偏导数
计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$：
$\frac{\partial Q}{\partial x}=3{x}^{2}+2x\cos y$
$\frac{\partial P}{\partial y}=2xy+2x\cos y$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3{x}^{2}+2x\cos y-(2xy+2x\cos y)=3{x}^{2}-2xy$
步骤 3：计算二重积分
将$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$代入格林公式，得到：
${\int }_{L}Pdx+Qdy=\iint_{D}(3{x}^{2}-2xy)dxdy$
其中，$D$的边界由$y=1-{x}^{2}$和$y=0$确定，$x$的范围为$[-1,1]$，$y$的范围为$[0,1-{x}^{2}]$。
$\iint_{D}(3{x}^{2}-2xy)dxdy=\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-{x}^{2}}(3{x}^{2}-2xy)dydx$
$=\int_{-1}^{1}[(3{x}^{2}y-x{y}^{2})|_{0}^{1-{x}^{2}}]dx$
$=\int_{-1}^{1}(3{x}^{2}(1-{x}^{2})-x(1-{x}^{2})^{2})dx$
$=\int_{-1}^{1}(3{x}^{2}-3{x}^{4}-x+2{x}^{3}-{x}^{5})dx$
$=\int_{-1}^{1}(3{x}^{2}-3{x}^{4}-x+2{x}^{3}-{x}^{5})dx$
$=[{x}^{3}-{x}^{5}-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}{x}^{4}-\frac{1}{6}{x}^{6}]_{-1}^{1}$
$=(1-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6})-(-1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6})$
$=\frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})$
$=\frac{2}{3}$