设A和B分别是m阶和n阶可逆矩阵，则分块矩阵} A & 0 0 & B

本题考查分块矩阵的逆矩阵的求解思路。解题的关键在于利用矩阵乘法的性质以及可逆矩阵的性质来推导分块矩阵的逆矩阵。

设分块矩阵$M = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}$，我们要找到一个矩阵$N$，使得$MN = \begin{pmatrix} I元素元素都为 1的 m 阶方阵 \\ 0 \\ 0 \\ 所有所有元素都为 1的 n 阶方阵\end{pmatrix}$。

我们尝试$N = \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1} \end{pmatrix}$，根据矩阵乘法规则：
$\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AA^{-1} & 0 \\ 0 & BB^{-1} \end{pmatrix}$
因为$A$和$B$分别是$m$阶和$n$阶可逆矩阵，根据可逆矩阵的性质$AA^{-1}=I_m$（$m$阶单位矩阵），$BB^{-1}=I_n$（$n$阶单位矩阵），所以：
$\begin{pmatrix} AA^{-1} & 0 \\ 0 & BB^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_m & 0 \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$
同理$\begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_m & 0 \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$。

根据逆矩阵的定义，如果$MN = NM = \begin{pmatrix} I_m & 0 \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$，那么$N$就是$M$的逆矩阵，所以$\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1} \end{pmatrix}$。