题目

求指导本题解题过程，谢谢您！ff yxdydz+xydzdx+z^2dzdx-|||-15.求 工 其中-|||-∑: ^2+(y)^2=1 z=0 z=1 所围成的空间区域-|||-Ω的外侧。

求指导本题解题过程，谢谢您！

题目解答

答案

解析

本题考查利用高斯公式计算曲面积分的知识。解题思路如下：

  1. 首先根据高斯公式$\underset{\varSigma }{∯}P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z=\underset{\varOmega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}V$，将曲面积分转化为三重积分。
  2. 接着确定积分区域$\varOmega$，本题中$\varOmega$是由${x}^{2}+{y}^{2}=1$，$z = 0$，$z = 1$所围成的空间区域。
  3. 然后计算三重积分，本题中$P = 0$，$Q = 0$，$R = z^{2}$，则$\frac{\partial P}{\partial x}=0$，$\frac{\partial Q}{\partial y}=0$，$\frac{\partial R}{\partial z}=2z$，所以$\underset{\varOmega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}V=\underset{\varOmega }{\iiint }2z\mathrm{d}V$。
  4. 最后利用柱坐标变换$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，$\mathrm{d}V = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z$，积分区域变为$0\leqslant r\leqslant 1$，$0\leqslantslant\theta\leqslantslant 2\pi$，$0\leqslantslant z\leqslantslant 1$，则$\underset{\varOmega }{\iiint }2z\mathrm{d}V=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}r\mathrm{d}r\int_{0}^{1}2z\mathrm{d}z$。
    • 先计算$\int_{0}^{1}2z\mathrm{d}z$，根据积分公式$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的原函数，$f(x)=2z$的原函数$F(x)=z^{2}$，则$\int_{0}^{1}2z\mathrm{d}z = z^{2}\big|_{0}^{1}=1$。
    • 再计算$\int_{0}^{1}r\mathrm{d}r$，$f(x)=r$的原函数$F(x)=\frac{1}{2}r^{2}$，则$\int_{0}^{1}r\mathrm{d}r=\frac{1}{2}r^{2}\big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}$。
    • 最后计算$\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta$，$f(x)=1$的原函数$F(x)=\theta$，则$\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta=\theta\big|_{0}^{2\pi}=2\pi$。
    • 所以$\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}r\mathrm{d}r\int_{0}^{1}2z\mathrm{d}z = 2\pi\times\frac{1}{2}\times1=\pi$。