题目
4、 lim _(xarrow infty )dfrac (sin x)(x)= __ ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数的有界性
$\sin x$ 是一个有界函数，其值域为 $[-1, 1]$，即对于所有 $x$，$|\sin x| \leq 1$。
步骤 2：分析分母的极限
当 $x \rightarrow \infty$ 时，分母 $x$ 趋向于无穷大，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }x = \infty$。
步骤 3：应用极限的乘积法则
根据极限的乘积法则，如果一个函数是有界的，另一个函数的极限为零，那么这两个函数的乘积的极限也为零。因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x} = \lim _{x\rightarrow \infty }(\sin x) \cdot \lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1}{x} = 0$。
$\sin x$ 是一个有界函数，其值域为 $[-1, 1]$，即对于所有 $x$，$|\sin x| \leq 1$。
步骤 2：分析分母的极限
当 $x \rightarrow \infty$ 时，分母 $x$ 趋向于无穷大，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }x = \infty$。
步骤 3：应用极限的乘积法则
根据极限的乘积法则，如果一个函数是有界的，另一个函数的极限为零，那么这两个函数的乘积的极限也为零。因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x} = \lim _{x\rightarrow \infty }(\sin x) \cdot \lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1}{x} = 0$。