下列各不等式所确定的平面点集是有界单连通域的是（）A 0<argz≤π;B 1<|z+i|<2;C |z|<1;D Re(z)>Im(z).

本题主要考查复变函数中平面点集的有界性和单连通性的概念。解题的关键在于理解每个选项所表示的平面点集的几何形状，然后根据有界性和单连通性的定义来判断。

选项A

• 对于$0 \lt \arg z \leq \pi$，$\arg z$表示复数$z$的辐角。在复平面上，$0 \lt \arg z \leq \pi$表示的是上半平面（不包括正实轴）。
• 有界性：在这个区域内，点可以无限远离原点，例如取$z = iy$（$y\gt{}0$），当$y$趋于无穷大时，$z$也趋于无穷远，所以该区域是无界的。
• 单连通性：在该区域内任意画一条简单闭曲线，其内部的点都属于该区域，所以它是单连通的。但由于不满足有界性，所以A选项不符合要求。

选项B

• 对于$1 \lt |z + i| \lt 2$，设$z=x+iy$，则$z + i=x + i(y + 1)$，$|z + i|=\sqrt{x^{2}+(y + 1)^{2}}$。
• 几何意义：$|z + i|$表示复数$z$到$-i$的距离，所以$1 \lt |z + i| \lt 2$表示以$-i$为圆心，内半径为$1$，外半径为$2$的圆环域。
• 有界性：该区域内的所有点到原点的距离是有界的，因为圆环域是被两个同心圆所界定的，所以它是有界的。
• 单连通性：在这个圆环域内，存在一个以$-i$为圆心，半径小于$1$的圆，这个圆内部的点不属于该圆环域。也就是说，存在一条简单闭曲线（这个小圆），其内部的点不都在该区域内，所以它是多连通的，不满足单连通性要求，B选项不符合。

选项C

• 对于$|z| \lt 1$，设$z=x+iy$，则$|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。
• 几何意义：$|z|$表示复数$z$到原点的距离，所以$|z| \lt 1$表示以原点为圆心，半径为$1$的单位圆内的区域（不包括边界）。
• 有界性：该区域内的所有点到原点的距离都小于$1$，所以它是有界的。
• 单连通性：在这个单位圆内任意画一条简单闭曲线，其内部的点都属于该单位圆内的区域，所以它是单连通的。C选项满足有界单连通域的定义。

选项D

• 对于$\mathrm{Re}(z)\gt{}\mathrm{Im}(z)$，设$z=x + iy$，则$\mathrm{Re}(z)=x$，$\mathrm{Im}(z)=y$，不等式变为$x\gt{}y$，即$y \lt x$。
• 几何意义：在复平面上，$y = x$是一条直线，$y \lt x$表示直线$y = x$下方的半平面。
• 有界性：在这个半平面内，点可以无限远离原点，例如取$z=x+iy$，当$x$趋于无穷大时，$z$也趋于无穷远，所以该区域是无界的。
• 单连通性：在该区域内任意画一条简单闭曲线，其内部的点都属于该区域，所以它是单连通的。但由于不满足有界性，所以D选项不符合要求。