题目
已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为: psi(x)=Large((1)/(sqrt(a)))small(mathrm{cos)}Large((3pi x)/(2a))， (-aleq xleq a)那么粒子在 x = 5a/6处出现的概率密度为A. Large((1)/(a))。B. Large((1)/(sqrt(2a)))。C. Large((1)/(sqrt(a)))。D. Large((1)/(2a))。
已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为: $\psi(x)=\Large{\frac{1}{\sqrt{a}}}\small{\mathrm{cos}}\Large{\frac{3\pi x}{2a}}$， ($-a\leq x\leq a$)那么粒子在 $x = 5a/6$处出现的概率密度为
A. $\Large{\frac{1}{a}}$。
B. $\Large{\frac{1}{\sqrt{2a}}}$。
C. $\Large{\frac{1}{\sqrt{a}}}$。
D. $\Large{\frac{1}{2a}}$。
题目解答
答案
D. $\Large{\frac{1}{2a}}$。
解析
步骤 1：确定波函数
波函数为 $\psi(x)=\Large{\frac{1}{\sqrt{a}}}\small{\mathrm{cos}}\Large{\frac{3\pi x}{2a}}$，其中 $-a\leq x\leq a$。
步骤 2：计算概率密度
概率密度由波函数的模平方给出，即 $|\psi(x)|^2$。因此，我们需要计算 $\psi(x)$ 在 $x = 5a/6$ 处的值，然后求其模平方。
将 $x = 5a/6$ 代入波函数中，得到 $\psi(5a/6)=\Large{\frac{1}{\sqrt{a}}}\small{\mathrm{cos}}\Large{\frac{3\pi \cdot 5a}{2a\cdot 6}}=\Large{\frac{1}{\sqrt{a}}}\small{\mathrm{cos}}\Large{\frac{5\pi}{4}}$。
由于 $\small{\mathrm{cos}}\Large{\frac{5\pi}{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此 $\psi(5a/6)=\Large{\frac{1}{\sqrt{a}}}\cdot-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}}$。
概率密度为 $|\psi(5a/6)|^2=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}}\right)^2=\frac{2}{4a}=\frac{1}{2a}$。
波函数为 $\psi(x)=\Large{\frac{1}{\sqrt{a}}}\small{\mathrm{cos}}\Large{\frac{3\pi x}{2a}}$，其中 $-a\leq x\leq a$。
步骤 2：计算概率密度
概率密度由波函数的模平方给出，即 $|\psi(x)|^2$。因此，我们需要计算 $\psi(x)$ 在 $x = 5a/6$ 处的值，然后求其模平方。
将 $x = 5a/6$ 代入波函数中，得到 $\psi(5a/6)=\Large{\frac{1}{\sqrt{a}}}\small{\mathrm{cos}}\Large{\frac{3\pi \cdot 5a}{2a\cdot 6}}=\Large{\frac{1}{\sqrt{a}}}\small{\mathrm{cos}}\Large{\frac{5\pi}{4}}$。
由于 $\small{\mathrm{cos}}\Large{\frac{5\pi}{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此 $\psi(5a/6)=\Large{\frac{1}{\sqrt{a}}}\cdot-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}}$。
概率密度为 $|\psi(5a/6)|^2=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{a}}\right)^2=\frac{2}{4a}=\frac{1}{2a}$。