题目
6.设 _(1)=((1,0,0,3))^T, _(2)=((1,1,-1,2))^T, _(3)=((1,2,a-3,1))^T _(4)=((1,2,-2,a))^T,-|||-beta =((0,1,b,-1))^T, 问a,b取何值时,-|||-(2)β不能由向量组α1,α2,α3,α4线性表示.
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵，将向量组 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$ 和 $\beta$ 放入矩阵中，形成增广矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -1 & a-3 & -2 & b \\
3 & 2 & 1 & a & -1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：化简增广矩阵
对增广矩阵进行行变换，化简为阶梯形矩阵，以确定向量组的线性相关性：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & a-1 & 0 & b+1 \\
0 & 0 & 0 & a-1 & -4
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：分析线性相关性
根据阶梯形矩阵，当 $a-1=0$ 且 $b+1 \neq 0$ 时，方程组无解，即 $\beta$ 不能由向量组 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$ 线性表示。
构造增广矩阵，将向量组 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$ 和 $\beta$ 放入矩阵中，形成增广矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -1 & a-3 & -2 & b \\
3 & 2 & 1 & a & -1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：化简增广矩阵
对增广矩阵进行行变换，化简为阶梯形矩阵，以确定向量组的线性相关性：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & a-1 & 0 & b+1 \\
0 & 0 & 0 & a-1 & -4
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：分析线性相关性
根据阶梯形矩阵，当 $a-1=0$ 且 $b+1 \neq 0$ 时，方程组无解，即 $\beta$ 不能由向量组 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$ 线性表示。