题目
1.计算下列第一型曲面积分:-|||-(6)如f(x,y,z)dS,其中∑是由曲面 =sqrt ({x)^2+(y)^2} z=1 及 z=2 所围成的空间区域-|||-f(x,y,z)= ) 0, (x)^2+(y)^2gt 1 (x)^2+(y)^2+(z)^2, (x)^2+(y)^2leqslant 1 .-|||-的边界曲面,
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
根据题目，积分区域是由曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，$z=1$ 和 $z=2$ 所围成的空间区域的边界曲面。因此，积分区域可以分为三部分：圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，圆盘面 $z=1$ 和圆盘面 $z=2$。
步骤 2：确定被积函数
被积函数 $f(x,y,z)$ 在 $x^2+y^2\leq1$ 时为 $0$，在 $x^2+y^2>1$ 时为 $x^2+y^2+z^2$。因此，我们需要分别计算在圆锥面和圆盘面上的积分。
步骤 3：计算圆锥面上的积分
在圆锥面上，$z=\sqrt{x^2+y^2}$，因此 $x^2+y^2=z^2$。当 $z=1$ 时，$x^2+y^2=1$，此时被积函数为 $0$。当 $z=2$ 时，$x^2+y^2=4$，此时被积函数为 $x^2+y^2+z^2=4+4=8$。因此，圆锥面上的积分可以表示为：
$$\int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} 8 \cdot \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, r \, dr \, d\theta \, dz$$
其中，$\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} = \sqrt{1+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}} = \sqrt{2}$。因此，圆锥面上的积分可以简化为：
$$\int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} 8 \cdot \sqrt{2} \cdot r \, dr \, d\theta \, dz$$
计算得到：
$$\int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} 8 \cdot \sqrt{2} \cdot r \, dr \, d\theta \, dz = \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} 4\sqrt{2}z^2 \, d\theta \, dz = \int_{1}^{2} 8\pi\sqrt{2}z^2 \, dz = \frac{56\pi\sqrt{2}}{3}$$
步骤 4：计算圆盘面上的积分
在圆盘面上，$z=1$ 和 $z=2$，因此被积函数为 $x^2+y^2+z^2$。因此，圆盘面上的积分可以表示为：
$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r^2+1^2) \cdot r \, dr \, d\theta + \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (r^2+2^2) \cdot r \, dr \, d\theta$$
计算得到：
$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r^2+1^2) \cdot r \, dr \, d\theta + \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (r^2+2^2) \cdot r \, dr \, d\theta = \frac{2\pi}{3} + \frac{20\pi}{3} = \frac{22\pi}{3}$$
步骤 5：计算总积分
总积分等于圆锥面上的积分加上圆盘面上的积分，即：
$$\frac{56\pi\sqrt{2}}{3} + \frac{22\pi}{3} = 6\pi$$
根据题目，积分区域是由曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，$z=1$ 和 $z=2$ 所围成的空间区域的边界曲面。因此，积分区域可以分为三部分：圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，圆盘面 $z=1$ 和圆盘面 $z=2$。
步骤 2：确定被积函数
被积函数 $f(x,y,z)$ 在 $x^2+y^2\leq1$ 时为 $0$，在 $x^2+y^2>1$ 时为 $x^2+y^2+z^2$。因此，我们需要分别计算在圆锥面和圆盘面上的积分。
步骤 3：计算圆锥面上的积分
在圆锥面上，$z=\sqrt{x^2+y^2}$，因此 $x^2+y^2=z^2$。当 $z=1$ 时，$x^2+y^2=1$，此时被积函数为 $0$。当 $z=2$ 时，$x^2+y^2=4$，此时被积函数为 $x^2+y^2+z^2=4+4=8$。因此，圆锥面上的积分可以表示为：
$$\int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} 8 \cdot \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, r \, dr \, d\theta \, dz$$
其中，$\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} = \sqrt{1+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}} = \sqrt{2}$。因此，圆锥面上的积分可以简化为：
$$\int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} 8 \cdot \sqrt{2} \cdot r \, dr \, d\theta \, dz$$
计算得到：
$$\int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} 8 \cdot \sqrt{2} \cdot r \, dr \, d\theta \, dz = \int_{1}^{2} \int_{0}^{2\pi} 4\sqrt{2}z^2 \, d\theta \, dz = \int_{1}^{2} 8\pi\sqrt{2}z^2 \, dz = \frac{56\pi\sqrt{2}}{3}$$
步骤 4：计算圆盘面上的积分
在圆盘面上，$z=1$ 和 $z=2$，因此被积函数为 $x^2+y^2+z^2$。因此，圆盘面上的积分可以表示为：
$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r^2+1^2) \cdot r \, dr \, d\theta + \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (r^2+2^2) \cdot r \, dr \, d\theta$$
计算得到：
$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r^2+1^2) \cdot r \, dr \, d\theta + \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (r^2+2^2) \cdot r \, dr \, d\theta = \frac{2\pi}{3} + \frac{20\pi}{3} = \frac{22\pi}{3}$$
步骤 5：计算总积分
总积分等于圆锥面上的积分加上圆盘面上的积分，即：
$$\frac{56\pi\sqrt{2}}{3} + \frac{22\pi}{3} = 6\pi$$