沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是( )A. 与速度大小成正比B. 与速度大小平方成正比C. 与速度大小成反比D. 与速度大小平方成反比

考查要点：本题主要考查速度与时间的反比例关系下，加速度与速度之间的关系推导，涉及导数的基本应用和比例关系的转换。

解题核心思路：

1. 建立速度与时间的关系式：根据题意，速度大小与时间成反比，即$v = \frac{k}{t}$（$k$为常数）。
2. 求导得到加速度：加速度$a = \frac{dv}{dt}$，通过求导可得$a$与$t$的关系。
3. 消去时间变量：将时间$t$用速度$v$表示，代入加速度表达式，最终得到$a$与$v$的关系。

破题关键点：

• 正确处理反比例关系：明确速度与时间的反比例关系，写出表达式。
• 导数运算：对速度关于时间求导得到加速度。
• 变量替换：通过$v = \frac{k}{t}$消去时间$t$，将$a$表示为$v$的函数。

步骤1：建立速度与时间的关系
根据题意，速度大小$v$与时间$t$成反比，可写为：
$v = \frac{k}{t} \quad (k \text{为常数})$

步骤2：求导得到加速度
加速度$a$是速度对时间的导数：
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{k}{t} \right) = -\frac{k}{t^2}$
由于题目问的是加速度的大小，故取绝对值：
$|a| = \frac{k}{t^2}$

步骤3：消去时间变量$t$
由$v = \frac{k}{t}$可得：
$t = \frac{k}{v}$
将$t$代入加速度表达式：
$|a| = \frac{k}{\left( \frac{k}{v} \right)^2} = \frac{k \cdot v^2}{k^2} = \frac{v^2}{k}$
由此可知，加速度的大小与速度的平方成正比。