1.求下列极限.-|||-(1) lim _(xarrow 0)dfrac (x-xcos x)(x-sin x)

步骤 1：应用洛必达法则
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，分子和分母都趋于0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=0$ 且 $\lim _{x\rightarrow a}g(x)=0$，则 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数。
步骤 2：计算导数
计算分子和分母的导数。分子的导数为 $1-\cos x+x\sin x$，分母的导数为 $1-\cos x$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，分子和分母的导数也趋于0，因此再次应用洛必达法则。计算分子和分母的二阶导数。分子的二阶导数为 $\sin x+\sin x+x\cos x=2\sin x+x\cos x$，分母的二阶导数为 $\sin x$。
步骤 4：计算极限
当 $x \rightarrow 0$ 时，分子的二阶导数为 $2\sin x+x\cos x$，分母的二阶导数为 $\sin x$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\sin x+x\cos x}{\sin x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\sin x}{\sin x}+\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x\cos x}{\sin x}=2+\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x\cos x}{\sin x}$。由于 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{\sin x}=1$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x\cos x}{\sin x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{\sin x}\cdot \lim _{x\rightarrow 0}\cos x=1\cdot 1=1$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\sin x+x\cos x}{\sin x}=2+1=3$。