题目
5、设矩阵A=(}1&2&32&1&33&3&6|.
5、设矩阵$A=\left(\begin{matrix}1&2&3\\2&1&3\\3&3&6\end{matrix}\right)$，①求A的所有特征值和最大特征值对应的特征向量；②求$|2A^{2}|$.
题目解答
答案
1. **求特征值**
计算特征多项式 $\det(A - \lambda I)$：
\[
\det(A - \lambda I) = -\lambda(\lambda - 9)(\lambda + 1)
\]
特征值为 $\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 = 9$，$\lambda_3 = -1$。最大特征值为 $\lambda_2 = 9$。
2. **求最大特征值对应的特征向量**
解 $(A - 9I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$：
\[
\begin{pmatrix} -8 & 2 & 3 \\ 2 & -8 & 3 \\ 3 & 3 & -3 \end{pmatrix} \mathbf{x} = \mathbf{0}
\]
得特征向量 $\mathbf{x} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$，$k \neq 0$。
3. **求 $|2A^2|$**
利用性质 $|kA| = k^n |A|$ 和 $|A^k| = |A|^k$：
\[
|2A^2| = 8 |A|^2
\]
计算 $|A| = 0$，故 $|2A^2| = 0$。
**答案：**
1. 特征值：$\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 = 9$，$\lambda_3 = -1$；最大特征值 $\lambda_2 = 9$ 对应的特征向量：$k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$，$k \neq 0$。
2. $|2A^2| = 0$。