设(x)=arcsin (sin x) (1)证明(x)=arcsin (sin x)以(x)=arcsin (sin x)为周期;(2)求(x)=arcsin (sin x)在(x)=arcsin (sin x)上的多项式并作图.

考查要点：

1. 周期函数的证明：利用三角函数的周期性及反三角函数的性质，判断函数周期。
2. 分段函数的构造：根据反三角函数的值域限制，结合三角函数的对称性，分区间表达函数形式。

解题核心思路：

1. 周期性证明：通过验证$f(x + 2\pi) = f(x)$，结合$\sin x$的周期性及$\arcsin$的定义域限制。
2. 分段表达式推导：在区间$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$内，$\arcsin(\sin x) = x$；在区间$[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$内，利用$\sin x = \sin(\pi - x)$并调整角度至$\arcsin$的值域范围内。

第（1）题

关键步骤：

1. 代入周期定义：计算$f(x + 2\pi) = \arcsin(\sin(x + 2\pi))$。
2. 利用$\sin$的周期性：$\sin(x + 2\pi) = \sin x$，因此$f(x + 2\pi) = \arcsin(\sin x) = f(x)$。
3. 结论：$f(x)$的周期为$2\pi$。

第（2）题

分区间讨论：

1. 当$x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$时：
   • $\arcsin(\sin x) = x$（因$x$本身在$\arcsin$的值域内）。
2. 当$x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$时：
   • 利用$\sin x = \sin(\pi - x)$，且$\pi - x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，故$\arcsin(\sin x) = \pi - x$。

最终表达式：
$f(x) = \begin{cases} x, & -\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}, \\\pi - x, & \dfrac{\pi}{2} \le x < \dfrac{3\pi}{2}.\end{cases}$

图像特征：

• 在$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$为斜率为1的直线。
• 在$[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$为斜率为-1的直线，形成“V”型折线。