题目
设A是n阶可逆矩阵，A^*是A的伴随矩阵，则（ ）A. |A^*|=|A|^n-1B. |A^*|=|A|C. |A^*|=|A|^nD. |A^*|=|A^-1|
设$A$是$n$阶可逆矩阵，$A^{*}$是$A$的伴随矩阵，则（ ）
A. $|A^{*}|=|A|^{n-1}$
B. $|A^{*}|=|A|$
C. $|A^{*}|=|A|^{n}$
D. $|A^{*}|=|A^{-1}|$
题目解答
答案
A. $|A^{*}|=|A|^{n-1}$
解析
步骤 1：理解伴随矩阵的定义
伴随矩阵$A^{*}$是矩阵$A$的代数余子式矩阵的转置。对于$n$阶可逆矩阵$A$，其伴随矩阵$A^{*}$满足$AA^{*} = |A|E$，其中$E$是$n$阶单位矩阵。
步骤 2：利用行列式性质
根据行列式的性质，对于两个$n$阶矩阵$A$和$B$，有$|AB| = |A||B|$。因此，对于$AA^{*} = |A|E$，两边取行列式，得到$|AA^{*}| = ||A|E|$。
步骤 3：计算行列式
由于$|A|$是一个标量，$|A|E$的行列式等于$|A|^n$，因为$E$的行列式为1。因此，$|AA^{*}| = |A||A^{*}| = |A|^n$。由于$A$是可逆矩阵，$|A| \neq 0$，可以得到$|A^{*}| = |A|^{n-1}$。
伴随矩阵$A^{*}$是矩阵$A$的代数余子式矩阵的转置。对于$n$阶可逆矩阵$A$，其伴随矩阵$A^{*}$满足$AA^{*} = |A|E$，其中$E$是$n$阶单位矩阵。
步骤 2：利用行列式性质
根据行列式的性质，对于两个$n$阶矩阵$A$和$B$，有$|AB| = |A||B|$。因此，对于$AA^{*} = |A|E$，两边取行列式，得到$|AA^{*}| = ||A|E|$。
步骤 3：计算行列式
由于$|A|$是一个标量，$|A|E$的行列式等于$|A|^n$，因为$E$的行列式为1。因此，$|AA^{*}| = |A||A^{*}| = |A|^n$。由于$A$是可逆矩阵，$|A| \neq 0$，可以得到$|A^{*}| = |A|^{n-1}$。