题目
1.利用 lim _(narrow infty )((1+dfrac {1)(n))}^n=e 求下列极限:-|||-(1) lim _(narrow infty )((1-dfrac {1)(n))}^n;-|||-(2) lim _(narrow infty )((1+dfrac {1)(n))}^n+1;-|||-(3) lim _(narrow infty )((1+dfrac {1)(n+1))}^n-|||-(4) lim _(narrow infty )((1+dfrac {1)(2n))}^n;-|||-(5) lim _(narrow infty )((1+dfrac {1)({n)^2})}^n
题目解答
答案
解析
步骤 1：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{n})}^{n}$
将 $(1-\dfrac {1}{n})$ 写成 $(1+\dfrac {-1}{n})$，利用已知极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，可以得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{n})}^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {-1}{n})}^{n}=e^{-1}=\dfrac {1}{e}$。
步骤 2：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n+1}$
将 $(1+\dfrac {1}{n})^{n+1}$ 写成 $(1+\dfrac {1}{n})^{n}\cdot (1+\dfrac {1}{n})$，利用已知极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，可以得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n+1}=\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}\cdot \lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}=e\cdot 1=e$。
步骤 3：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{2n})}^{n}$
将 $(1+\dfrac {1}{2n})^{n}$ 写成 $(1+\dfrac {1}{2n})^{2n\cdot \dfrac {1}{2}}$，利用已知极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，可以得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{2n})}^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{2n})}^{2n\cdot \dfrac {1}{2}}=e^{\dfrac {1}{2}}=\sqrt {e}$。
步骤 4：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{{n}^{2}})}^{n}$
将 $(1+\dfrac {1}{{n}^{2}})^{n}$ 写成 $(1+\dfrac {1}{{n}^{2}})^{n^{2}\cdot \dfrac {1}{n}}$，利用已知极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，可以得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{{n}^{2}})}^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{{n}^{2}})}^{n^{2}\cdot \dfrac {1}{n}}=e^{0}=1$。
步骤 5：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n+1})}^{n}$
将 $(1+\dfrac {1}{n+1})^{n}$ 写成 $(1+\dfrac {1}{n+1})^{n+1\cdot \dfrac {n}{n+1}}$，利用已知极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，可以得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n+1})}^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n+1})}^{n+1\cdot \dfrac {n}{n+1}}=e^{\dfrac {n}{n+1}}=e^{1}=e$。
将 $(1-\dfrac {1}{n})$ 写成 $(1+\dfrac {-1}{n})$，利用已知极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，可以得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{n})}^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {-1}{n})}^{n}=e^{-1}=\dfrac {1}{e}$。
步骤 2：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n+1}$
将 $(1+\dfrac {1}{n})^{n+1}$ 写成 $(1+\dfrac {1}{n})^{n}\cdot (1+\dfrac {1}{n})$，利用已知极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，可以得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n+1}=\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}\cdot \lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}=e\cdot 1=e$。
步骤 3：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{2n})}^{n}$
将 $(1+\dfrac {1}{2n})^{n}$ 写成 $(1+\dfrac {1}{2n})^{2n\cdot \dfrac {1}{2}}$，利用已知极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，可以得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{2n})}^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{2n})}^{2n\cdot \dfrac {1}{2}}=e^{\dfrac {1}{2}}=\sqrt {e}$。
步骤 4：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{{n}^{2}})}^{n}$
将 $(1+\dfrac {1}{{n}^{2}})^{n}$ 写成 $(1+\dfrac {1}{{n}^{2}})^{n^{2}\cdot \dfrac {1}{n}}$，利用已知极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，可以得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{{n}^{2}})}^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{{n}^{2}})}^{n^{2}\cdot \dfrac {1}{n}}=e^{0}=1$。
步骤 5：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n+1})}^{n}$
将 $(1+\dfrac {1}{n+1})^{n}$ 写成 $(1+\dfrac {1}{n+1})^{n+1\cdot \dfrac {n}{n+1}}$，利用已知极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n})}^{n}=e$，可以得到 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n+1})}^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{n+1})}^{n+1\cdot \dfrac {n}{n+1}}=e^{\dfrac {n}{n+1}}=e^{1}=e$。